134(1)

Rozwiązanie. Dopóki kula nie wynurzy się nad powierzchnię wody, siła Pi, wykonująca pracę, jest stała i równa różnicy między ciężarem kuli i ciężarem wypieranej przez nią wody

P. = y 7lR'ó - y nP} = y 7lR^}(d- 1)

Dlatego pracę L\, potrzebną do podniesienia kuli do powierzchni wody, wyznaczamy w sposób elementarny, jako iloczyn siły P_l przez różnicę poziomów H—2R

A = P,(H-2R) = y 7iR\d-\) (H—2R)

Przy dalszym podnoszeniu kuli siła P wykonująca pracę będzie się zmieniała wraz ze zmianą wysokości x wynurzonej części kuli wystającej nad poziom wody (rys. 128), przy czym

P(x) = G_k-G_w

Rys. 128

gdzie: G_k — ciężar kuli, G_w — ciężar wody wypartej przez zanurzoną część kuli, równy co do wartości liczbowej objętości odcinka kuli o wysokości h — 2R—x

G_w = nh¹    —y-j =y(2R-x)²(i?+x) = y(x^J-3Rx²+4R³)

Praca wykonywana przez siłę P(x) będzie oczywiście też pewną funkcją L(x) zmiennej wysokości x. Zakładając, że przy podnoszeniu kuli na bardzo małą wysokość dx siła P(x) pozostaje stała, znajdziemy przybliżoną wartość przyrostu pracy

ALxP(x)dx = (G_fc — G„.) dx = y [4R\d    2>R>?\dx = <1L

Całkując dL w granicach od x — 0 do x = 2R, obliczymy tym samym pracę L₂, jaką należy wykonać, ażeby kulę, podniesioną uprzednio z dna basenu do powierzchni wody, wydobyć całkowicie z wody

1 R

L₂= ~-j' [4R³(6 — l)—x³+3Rx²]dx

t[

4R\d-l)x- ~ +    = y ^(2(5-1)

Szukana praca jest sumą prac L_x i L₂, czyli

L = L₁-^JrL₂ = y xR³[A+(A-1)#] = 61,2zr kGm « 600,4n J

664. Wyznaczyć pracę potrzebną do wyniesienia rakiety o ciężarze G₀ = 1,5 T z powierzchni ziemi na wysokość H — 2 000 km. Rozwiązanie. Siła przyciągania ziemi G, czyli ciężar ciała, zależy

od jego odległości x od środka ziemi: G(x) = gdzie A jest stałą.

Jeżeli G₀ oznacza ciężar ciała znajdującego się na pow ierzchni ziemi, czyli w odległości R od jej środka, to G₀ = skąd A - G₀R². Wobec tego

siła, jaką pokonuje silnik rakiety w chwili, gdy znajduje się ona w odległości x od środka ziemi, jest znaną funkcją *

G(x) = °£²-

Zakladając teraz, że praca wykonana przez silnik rakiety przy podniesieniu jej do wysokości x jest pewną funkcją L(x) i że przy dalszym podniesieniu rakiety o małą wysokość dx siła ta nie zmienia się, znajdujemy przybliżoną wartość przyrostu pracy

AL x G(x)dx = ^G^² dx = dL

Gdy rakieta wzniesie się do wysokości II nad powierzchnię ziemi, x zmieni się od R do R \ H. Obliczana praca wyraża się więc całką

R + H

L= j G{x)dx — G₀R² I

R+H r dx		r o
J D	= GqR-

R+H

R

G₀RH_

R+H

271