Rozwiązanie. Dopóki kula nie wynurzy się nad powierzchnię wody, siła Pi, wykonująca pracę, jest stała i równa różnicy między ciężarem kuli i ciężarem wypieranej przez nią wody
P. = y 7lR'ó - y nP} = y 7lR}(d- 1)
Dlatego pracę L\, potrzebną do podniesienia kuli do powierzchni wody, wyznaczamy w sposób elementarny, jako iloczyn siły Pl przez różnicę poziomów H—2R
A = P,(H-2R) = y 7iR\d-\) (H—2R)
Przy dalszym podnoszeniu kuli siła P wykonująca pracę będzie się zmieniała wraz ze zmianą wysokości x wynurzonej części kuli wystającej nad poziom wody (rys. 128), przy czym
P(x) = Gk-Gw
Rys. 128
gdzie: Gk — ciężar kuli, Gw — ciężar wody wypartej przez zanurzoną część kuli, równy co do wartości liczbowej objętości odcinka kuli o wysokości h — 2R—x
Gw = nh1 —y-j =y(2R-x)2(i?+x) = y(xJ-3Rx2+4R3)
Praca wykonywana przez siłę P(x) będzie oczywiście też pewną funkcją L(x) zmiennej wysokości x. Zakładając, że przy podnoszeniu kuli na bardzo małą wysokość dx siła P(x) pozostaje stała, znajdziemy przybliżoną wartość przyrostu pracy
ALxP(x)dx = (Gfc — G„.) dx = y [4R\d 2>R>?\dx = <1L
Całkując dL w granicach od x — 0 do x = 2R, obliczymy tym samym pracę L2, jaką należy wykonać, ażeby kulę, podniesioną uprzednio z dna basenu do powierzchni wody, wydobyć całkowicie z wody
1 R
L2= ~-j' [4R3(6 — l)—x3+3Rx2]dx
t[
4R\d-l)x- ~ + = y ^(2(5-1)
Szukana praca jest sumą prac Lx i L2, czyli
L = L1-JrL2 = y xR3[A+(A-1)#] = 61,2zr kGm « 600,4n J
664. Wyznaczyć pracę potrzebną do wyniesienia rakiety o ciężarze G0 = 1,5 T z powierzchni ziemi na wysokość H — 2 000 km. Rozwiązanie. Siła przyciągania ziemi G, czyli ciężar ciała, zależy
od jego odległości x od środka ziemi: G(x) = gdzie A jest stałą.
Jeżeli G0 oznacza ciężar ciała znajdującego się na pow ierzchni ziemi, czyli w odległości R od jej środka, to G0 = skąd A - G0R2. Wobec tego
siła, jaką pokonuje silnik rakiety w chwili, gdy znajduje się ona w odległości x od środka ziemi, jest znaną funkcją *
G(x) = °£2-
Zakladając teraz, że praca wykonana przez silnik rakiety przy podniesieniu jej do wysokości x jest pewną funkcją L(x) i że przy dalszym podniesieniu rakiety o małą wysokość dx siła ta nie zmienia się, znajdujemy przybliżoną wartość przyrostu pracy
AL x G(x)dx = G^2 dx = dL
Gdy rakieta wzniesie się do wysokości II nad powierzchnię ziemi, x zmieni się od R do R \ H. Obliczana praca wyraża się więc całką
R + H
L= j G{x)dx — G0R2 I
R+H r dx |
r o | |
J D |
= GqR- |
R+H
R
G0RH_
R+H
271