149 2

296 XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe

(15.3.2)    Stały czynnik wolno wynieść przed znak całki, tzn.

\kf{x)dx = k\f{x)dx, kj± 0.

(15.3.3)    Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

J u dv=uv— J vdu .

Jest to tzw. wzór na całkowanie przez części.

(15.3.4)    Jeżeli dla a^x^b,g(x) = ujestfunkcjąmającą ciągłą pochodną oraz A *Zg(x)ę.g a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale [A, B], to

J f(g (*)) g'(x) dx=j f(u) du ,

przy czym po scalkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić H = g(*) Jest to tzw. wzór na całkowanie przez zamianę zmiennej (przez podstawienie).

Zadanie 15.1. Obliczyć całkę 1= Jx(.t— l)(x—2) dx.

Rozwiązanie. Po doprowadzeniu funkcji podcałkowej do postaci wielomianu całku-jemy

4    3    2

1= j (x³—3x² +2x)dx= J x³dx — 3 J x²dx+2 j xdx= — — 3—+2^-+C

i ostatecznie I=Ąx^A—x³+x² + C.

Zadanie 15.2. Obliczyć całkę 7= J (x² —jc+1)² dx.

Rozwiązanie. Podnosząc funkcję podcałkową do kwadratu kolejno otrzymujemy 7= $ (x*—2x³+3x²— 2x + l)dx=

= J x*dx—2 | x³dx+3 | x²dx—2 J xdx+ | dx=

=i;c⁵-4x⁴+;t³-;c²+;c + C.

Zadanie 15.3. Przyśpieszenie w danym ruchu prostoliniowym wyraża się wzorem a = 12f² + 18 sin 3t—2. Wyznaczyć wzór określający prędkość v w zależności od czasu U jeżeli dla 1 = 0 prędkość u =10; wyznaczyć również wzór określający drogę x, jeżeli dla t = 0 droga x = 5.

Rozwiązanie. Mamy

o=    J (12z² + 18 sin 3f — 2)7l = 4t³ — 6cos3l — 2< + C.

Przyjmując ? = 0 otrzymujemy v= -6 + C=10, skąd C= 16. Ostatecznie

o=4t³-6cos3i—2H-16.

Dalej,

x= \vdt= J(4l³ —6cos3t —2t + 16)dt = i⁴ —2sin3t —^4-161 + C!.

7 = 0 mamy x=5, zatem Ci = 5, a więc

pla

x = t⁴ —2sin 3t-t² + 16t + 5 .

Jadanie 15.4. Obliczyć całkę 1= j(x²+a²) x dx.

Rozwiązanie. Całkę tę można obliczyć rozkładając ją na dwa składniki i stosując każdym składniku wzór (15.2.1). Otrzymujemy

/=|x⁴+iaV+C.

Ale można również zastosować podstawienie x² + a² = u, skąd przez zróżniczkowanie

otrzymujemy

2xdx=du,    czyli xdx=\du .

Na podstawie wzoru (15.3.4) na zamianę zmiennych oraz reguły (15.3.2) otrzymujemy / = ! j u du (*) , skąd I=\u² +C'.

Ostatecznie więc mamy

J (x² +a²)xdx=± (x²+a²)² + C'.

Zadanie 15.5. Dane jest przyśpieszenie w ruchu prostoliniowym a = 3?+sin£ t. Wyznaczyć wzór określający prędkość v jako funkcję czasu t, jeżeli wiemy, że w chwili t=0 jest i=v₀; wyznaczyć również drogę x w zależności od czasu, jeżeli wiadomo nam, że dla (=0 jest x = x₀.

Rozwiązanie. Mamy

v= | adt= J(3f+sindt)rft = |t²—2cosżt+C.

Dla t=0 mamy v=v₀; stąd określamy stałą całkowania C=2+v₀. Zatem

v=\t² — 2cosAf+2+t>₀.

Dalej,

x= j^- vdt= J(^t²—2cos^t+2+v₀)dt=jt³ — Asinjt+2ł+v₀t + C₁.

Dla 1=0 mamy x= x₀, a więc x₀ = C₁. Ostatecznie otrzymujemy

x=jł³-4sin-jt+2t + u₀t + Ar₀ . Zadanie 15.6. Obliczyć całkę

dx.

, f xQx-x²Z]x)

J tfe

1 Zauważmy, że symbol du we wzorach x dx=$du oraz ju du oznacza zupełnie co innego. W pierw-^przyPadku jest to różniczka funkcji x², w drugim natomiast oznacza, że zmienną całkowania jest u. i _to ^niC2ne podstawienie jednego oznaczenia na miejsce drugiego jest dozwolone na podstawie teorii ^z tłumaczy używanie jednego symbolu w dwóch znaczeniach.