185(1)

⁷« = T fi ^yV~i)^{dxdy = :}J Jje^sin9>(i- °^Sip)e^do = ^:

=f i

^J Sin cp ~R

dQ =

i/ f / i?³—r³ fi⁴-r⁴ .    \ .    ,

⁼ T_oJ \ 3---4Ż?    ^sm?jsm₉₅#    =

/V	sin 2<p\ ^2
u	^4 /Jo

n(r*—R*)H

SR

//[r³-;?³    7?⁴-

⁼ tLT~^C0S9’--4

P

2) I_xy = I I I zdxdydz = f f dxdy J zdz —

'xy

r2^x2_+y2^R2

2 7t    R

H²f f( 2q² sin <p , ^sin²?^

= tJ *J *—*-+-*■—)*

O    r '    ’

■2.71

_ H² r | R²—r

~ 8 J I 2

n ł-

-r²    2(/?³—r³)sing? , (/?⁴-r⁴)3in²ę>

2 f)    T    ^ r>2

d<p =

nil²(R²—r²) (3R²—r^z) 32R^Z

Masa m danego jednorodnego wydrążonego walca ściętego, przy zało-żeniu, że gęstość 5—1. jest co do wartości liczbowej równa jego objętości V. Objętość tę można obliczyć albo wg wzoru (1), albo też w sposób elementarny jako połowę objętości całkowitego (nie ściętego) walca o danym wydrążęniu

„,__K

Podstawiając wartości I_xz, I_xy i m do wzorów (3), otrzymamy

}'c —

/«

m

R²+r²    I_Xv    H(3R²—r²)

-, Zc — — =

4 R

m

16 R²

Moment bezwładności walca względem jego osi obliczamy na podstawie wzoru (4)

I_z — f I j S(x^2jry²)dxdydz = <5 J j (x²-\-y²)dzdy j dz =

&H_ ' 2

_r2^x2₊y2^Ri

J f (x²+y^z) |l - |r) dxdy =

2n R

-f-    r J*#-*#*)*“

dli

2

Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

861.    Sferą x²~ry²+z² = 3a² i paraboloidą x²-\-y² = 2az.

862.    Walcami x² = y, x² = 4—3y i płaszczyznami z — 0, z = 9.

863.    Stożkiem x²+y² — z² i paraboloidą :c²+y² = 6—z; z 5= 0.

864.    Walcem .*²-f;y² = Rx i sferą x²+y^2jrz² = R².

•    • x² y² z²    ,

865.    Obliczyć objęj^ść części elipsoidy -f-    — 1, leżącej w

pierwszym oktancie przestrzeni i zawartej między płaszczyznami * = 0, y — 0, z = 0 i bx+ay = ab.

866.    Obliczyć objętość sześcianu, którego gęstość objętościowa w każdym punkcie jest równa sumie odległości tego.punktu od trzech krawędzi sześcianu, przechodzących przez jeden z jego wierzchołków.

867.    Gęstość objętościowa walca x²-\-y² < r², 0 ^ z < h w każdym jego punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od osi walca. Obliczyć masę walca i jego moment bezwładności względem średnicy podstawy.

868.    Obliczyć masę substancji zapełniającej część wspólną dwu kul x²~\~y²~}-z² < R¹ i x^2jry^2jrz² < 2 Rz, jeśli w każdym jej punkcie gęstość objętościowa jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od płaszczyzny xOy.