1 (4) 2

Ciała

11

ść istnienia kre-»ru E c. S w S	x 1.13. UWAGI, a) W przypadku dowolnego ciała wygodnie jest pisać x-y, -, x+y+z,
łnych. resami dolnymi aych ma także	xyz, x^2, x^3, 2x, 3x,... zamiast odpowiednio x+(— y), x f-J, (x+y)+z, (xy)z, xx, xxx, x+x, x+x+x, ... b) Jest jasne, że aksjomaty ciała są spełnione w przypadku zbioru liczb wymiernych Q przy normalnie określonych działaniach dodawania i mnożenia. Zatem Q jest ciałem.
iącym własność f przez L zbiór	c) Jakkolwiek nie jest naszym celem szczegółowa analiza pojęcia ciała (ani żadnych innych struktur algebraicznych), warto zauważyć i udowodnić, że liczne znane własności Q są konsekwencjami aksjomatów ciała; z chwilą kiedy to uczynimy, nie będziemy musieli przeprowadzać tych samych dowodów powtórnie dla ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych.
aż L składa się B, więc każdy z góry. Nasze fa- Soni L, a więc	1.14. STWIERDZENIE. Aksjomaty dla dodawania pociągają następujące własności: a)    jeżeli x+y = x+z, to y — z; b)    jeżeli x+y — x, to y = 0; c)    jeżeli x+y = 0, to y — — x; d)    -(—x) = x. Własność a) jest prawem skracania. Zauważmy, że b) stwierdza jedyność elementu, którego istnienie jest zakładane w (A4), a c) czyni to samo w stosunku do (A5).
liśmy więc, że n B, lecz (i nie	Dowód. Jeżeli x+y = x+z, to stosując aksjomaty (A), otrzymujemy y - 0+y = (-x+ + x)+y = -x+(x+y)= -x+(x+z)= (-x+x)+ż= 0+z = z, co dowodzi prawdziwości a). Dla dowodu b) wystarczy podstawić z = 0 w b) i podobnie dla' dowodu c) podstawiamy z = —x. Następnie podstawiając — x na miejsce x w c) z uwagi na równość — x+x = 0 otrzymujemy d). /
r dwie opera-ją tak zwane	1.15. STWIERDZENIE. Aksjomaty dla mnożenia pociągają następujące własności: a)    jeżeli x # 0 oraz xy m xz, to y — z\ b)    jeżeli x # 0 oraz xy = x, to y = 1; c)    jeżeli x # 0 oraz xy = 1, to y = l/x; d)    jeżeli x / 0, to l/(l/x) = x. Dowód jest analogiczny jak w stwierdzeniu 1.14 i opuścimy go.
zachodzi dla	1.16. STWIERDZENIE. Dla dowolnych x, y, z e F aksjomaty ciała pociągają następujące własności: a)    0x = 0; b)    jeżeli x # 0 i y # 0, to xy ^ 0; c)    (—x)y = — (xy) = x(-y); d)    ( x) (-y) = xy. Dowód. 0x+0x = (0+0)x = 0x. Zatem 1.14 b) pociąga 0x= 0 i a) zachodzi. Dla dowodu b) przypuśćmy, że x # 0, y ^ 0, ale xy = 0. Wtedy z a) wynika 1 = ^^xy - = 0 = 0, co stanowi sprzeczność. Wobec tego b) zachodzi.