1tom023

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 48

W przypadku ciągłego, przestrzennego rozkładu ładunku o gęstości q(T), spełniającego

warunek |p(F)dK= 0 moment dipolowy można wyznaczyć ze wzoru v

p = J7_e(r)dF    (1.6)

v

gdzie "r—wektor położenia i-tego ładunku lub elementu objętości dV, względem dowolnie wybranego punktu.

Całkowanie przeprowadza się w całej przestrzeni zajętej przez ładunki. W szczególnym przypadku układu dwóch ładunków punktowych + q i —q, znajdujących się w odległości / od siebie, zwanego dipolem elektrycznym, moment określa zależność

P=ql    (1.7)

gdzie / jest wektorem poprowadzonym od ładunku — q do ładunku +q.

Wektor polaryzacji dielektryka P jest wektorową sumą momentów dipolowych p_f cząsteczek dielektryka, występujących w jednostce jego objętości

lim

p-o

V ^Pi

(1.8)

gdzie n — liczba cząsteczek polarnych w objętości V dielektryka.

Między wektorem polaryzacji P i natężeniem pola elektrycznego E w dielektryku zachodzi związek

(1.9)

P = e₀yE

gdzie x — podatność elektryczna dielektryka.

Indukcja elektryczna D jest wektorem zdefiniowanym wzorem

D = e₀E + P    (1.10)

Jeśli ośrodek jest izotropowy, to

D — e₀s_rE    (1.11)

oraz

X = e_r-l    (1.12)

gdzie e, jest skalarem. W ośrodkach anizotropowych s_r i / mają charakter tensorowy.

Strumień <P_e natężenia (zwany strumieniem elektrycznym) przez daną powierzchnię S jest zdefiniowany wzorem

<P_e = $EdS    (1.13)

s

gdzie dS — wektor normalny do elementu powierzchni dS, o długości równej polu tego elementu.

Prawo Gaussa: Strumień elektryczny przez dowolną powierzchnię zamkniętą S jest proporcjonalny do wypadkowego ładunku elektrycznego Q objętego przez tę powierzchnię

<P_e = §EdS=—    (1.14)

S    ^S0 ^£r

gdzie wektor dS jest zwrócony na zewnątrz powierzchni S.

Proporcjonalność d>_e do Q oznacza, że pole elektrostatyczne jest źródłowe, a jego źródła znajdują się w miejscach położenia ładunków elektrycznych.

Prawo Gaussa można również przedstawić w postaci różniczkowej

(1.15)

Praca wykonana przez pole w wyniku przeniesienia ładunku q z punktu A do punktu B pola wynosi

B

B

W=q]Edl = <jf£d/cos(£,dr)

(1.16)

A

A

Nie zależy ona od kształtu toru, wzdłuż którego ładunek q jest przemieszczany od punktu A do punktu B, ajedynie od początkowego (A) i końcowego (B) położenia ładunku. Całka liniowa wektora E, obliczona po dowolnej drodze zamkniętej, a więc cyrkulacja C wektora natężenia pola elektrostatycznego wzdłuż krzywej zamkniętej K jest równa zeru, czyli

£ = jE-dl = 0

(1.17)

K

co można zapisać również w postaci różniczkowej

rot E — 0

(1.18)

Jednocześnie można wykazać, że cyrkulacja jest równa stosunkowi pracy W— wykonanej przez pole w wyniku przemieszczania się ładunku q wzdłuż krzywej zamkniętej — do wartości tego ładunku, a więc C — W/q. Powyższe wyraża potencjalny charakter sił elektrostatycznych.

Jeśli pole elektrostatyczne zostało wytworzone przez ładunek punktowy q_t,to zgodnie ze wzorami (1.3) i (1.16) można określić pracę

(1.19)

gdzie: r_A i r_? — odległości między ładunkami q i q_x odpowiednio przed i po przemieszczeniu q, względem q.

Energia potencjalna E_p ładunku q w punkcie A pola elektrostatycznego jest równa pracy wykonanej przez pole w czasie przemieszczania się ładunku z tego punktu pola do punktu nieskończenie odległego od ładunków wytwarzających pole, gdzie jego energię potencjalną przyjmuje się za równą zeru, a więc

(1.20)

W przypadku pola wytworzonego w jednorodnym dielektryku izotropowym przez ładunek punktowy q, energia potencjalna ładunku q_x umieszczonego w odległości r od ładunku q, zgodnie z zależnością (1.19) i (1.20) przy r_A = r oraz r_B = oo, wynosi

Potencjałem Vpola elektrostatycznego w danym punkcie nazywa się stosunek energii potencjalnej E_p małego ładunku próbnego q₀ umieszczonego w tym punkcie do wartości tego ładunku

<?o

(1.22)

Uwzględniając wzór (1.21), potencjał pola elektrostatycznego, w odległości r od ładunku q wytwarzającego to pole, określa zależność

(1.23)

4 Poradnik inżyniera elektryka tom 1