218

434 Rozwiązania i odpowiedzi

1.77. W = 7.

1.79. T_s = 495a*x~².

1.78. r₃ = ^j(^3)³(V2)² = 60. (b + a)a

1.80. T₄ = 35

(i,-a)³

1.81. 1,0005³⁶« 1,018. Wystarczy wziąć pierwsze dwa wyrazy rozwinięcia (1 +0,0005)36

DO ROZDZIAŁU II

2.17.	1.	2.18.	-	4 5*	2.19. 0.	2.20. -2.	2.21.	b
2.22.	ł.	2.23.	-	1 10*	2.24. 0.	2.25. 0.	2.26.	4 9*
2.27.	125 27 ‘	2.28.	1.		2.29. 0.	2.30. 00.	2.31.	0.
2.32.	— OO.	2.33.	2.		2.34. 72-2.	2.35. 73-	2.36.	ł-
2.37.	ł-	2.38.	1.
2.39.	1. Podzielić licznik			i mianownik ułamka		przez n.
2.40.	4 7*	2.41.	0.		2.42. 1	2.43. -f.	2.44.	1/73.
2.45.	-1.	2.46.	4 3*		2.47. -5/3^4	2.48. i.	2.49.	5 4*
2.50.	48 5 *	2.51.		OO.	2.52. -1.	2.53. §.	2.54.	3.
2.55.	10.	2.56.	0.		2.57. 1 4	2.58. i.	2.59.	ł.
2.60.	1	2.61.	4 3*

2.62.    —-- dla |a|<l; jeżeli |a|^l, to ciąg jest rozbieżny.

4(1 -a)

2.63.    0 przy k>2, \ przy k = 2 oraz oo przy k<2.

2.64. e².    2.65. 1.    2.66. e\    2.67. e'^1/3.

2.69. e⁶.    2.70. e³'².    2.71. 1.    2.72. i 72.

2.68. e*.

2.73. i 72.

2.74. 1. Przyjąć u_n = ⁿJ2(Zjn)³ "/1---; granica pierwszego i drugiego czynnika

V 2n 2 n

równa się 1, dla trzeciego czynnika stosujemy twierdzenie, że lim Va„= 1, jeżeli a_n>0

n~* oo

i lim a„/0 oraz lima„#oo.

n-*oo    oo

2.75.    1.

2.80. -f.

2.76. 1. 2.81. 0.

2.77. -i. 2.82. 1.

2.84. 15. Oprzeć się na wzorze log₉ a =

1

log*S

2.78. 0. 2.83. 3.

log* a.

2.79. 0.

2.85. 1. Oprzeć się na wzorze _a^log’^b = b^logea.

2.86. 0. Oprzeć się na wzorze w odpowiedzi do zad. 2.84 i na zad. 2.12.

2.87.    0.

,    n!    1

2 88. 0. Zauważyć, że 0<—-< —•

n" n

2.89.    0. Zauważyć, że 2"-3^2l,= 18ⁿ; następnie oprzeć się na zad. 2.12.

2.90.    I

2.92. Niech wzdłuż boku a trójkąta ABC leży n okręgów. Wtedy średnica każdego _z nich równa jest (a-a_n)/n, gdzie a_n-»0 przy n-+ co. Pole

n(a-a„Y

4 n²

(n+(n-l) + ... +1) =

1 + n Ti (n — a„)²

T"’    4«

jeżeli n-»oo, to S_kn->\Tia², a

$k„ ⁷¹>/3

•    ’^_ S 6

2.93. Wzdłuż boku a leży « okręgów. Wtedy średnica każdego z nich równa jest ajn,

a suma pól wszystkich okręgów

I    ^ gdzie /?„-+0 przy 00. Stąd lim—⁼=ijt.

n-» 00 ^

2.94. lim S„ = 0, limP_n = 3d.    2.95. \im AP_n = $.

(kt\ⁿ

1 +—j , gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności; Q, = Q₀ e^kt.

DO ROZDZIAŁU Ul

3.21. 5=1.    3.22. 5=1.    3.23. Rozbieżny. 3.24. 5=lnf

3.25. 5=1 przy jc>0; 5= — 1 przy x<0; 5=0 przy x=0.

3.26. 2- X

1

n = 2 n(n-l)

; S = 1.

co 1

3-27. I^;s = i

n= 1 £

⁰⁰    2/7 -1

3.28.    -1+ X (-1)"--S = 0.

„=2 n(n-1)

3.29.    Rozbieżny. 3.30. Rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów: ogólny wyraz dąży tutaj do 1.    3.31. Zbieżny, bo log/i<n, a więc

logu    1    /    «>    1    \    .

3 < —7• 3.32. Zbieżny ( porównać z szeregiem £ — ).    3.33. Bezwzględnie zbież-

ⁿ    n    \    „=i    n    )

⁰⁰ 1

ny, gdyż |sin 3”| < 1, a szereg £ — jest zbieżny. 3.34. Zbieżny. 3.35. Rozbieżny

n- 1 3"

(kryterium d’Alemberta). 3.36. Rozbieżny. 3.37. Zbieżny. 3.38. Zbieżny