233(1)

1 rC0S(7I+l).V COS(« —l)xT _

~ Ji L ("+¹)²    O'-*)² Jo ^_

1 r COS(h -j-1) 71 — 1    , COS(« — l)?t —

^_»L

(w+1)^{2 r} («-l)²

Dla n parzystych (n = 2k), mamy cos («± 1) "it = — 1 i a„ — a_Zk =

4(4^2* 1)

= —    Dla n nieparzystych, przy czym n / 1, mamy cos(/i±1)jt =

= 1 i = 0.

Współczynnik a_x obliczamy osobno, podstawiając we wzorze (3) n — 1

71    71

Oj = — .vcos.vcosxd.v = — x(1+cos2x)ć/a; =

TC */    TC %)

0

t    Jt

xdx-j- j xcos2x£/a| =

o

xsin2x

"H?

cos2x

T=—    I

Jo 2

Rozwinięcie danej funkcji w niepełny szereg Fouriera, zawierający tylko cosinusy, ma więc postać

xcos;ę ^;

2 n 4 V ⁴^+ł    _n ^ ^

/c=l

■=--⁺T^-~2; ^C°^S2t*-

Podstawiając w rozwinięciu tym a = 0, otrzymamy _ń jr    2    4 \” 4k²+l    , .    . \* 4^+1

⁰ “ t - *■ ~» Z(4*»-i r^{skąd wSn,ka}' “ Z w-i “

A=1    ⁷    *-0 ^V    '

8^2

b. Przedłużając daną funkcję nieparzyście (rys. 213b), mamy a„ = 0 oraz

31    71

b„ = -— A-cosAsin/wrfa: = — I *[sin(n+l)x-fsin(n — l)x]dx^=

71 J    71 J

“10

| X / COS (« -pi) A	cos(n —1)a:\
Ul n + 1	»-1 /J

+

J_ frcos(n+l)* cos(n—l)s~j , _    A

+

n J |_ *+l ⁿ~¹ J

_ rcosfr+p* c°»(»-i)»]_₍_p. *l._{; n#1} 7J+1    «- 1 J    n —1

Osobno obliczamy współczynnik bj

!»,==—( xcosxsinxcfa: = — I xńa.2xdx = —

¹ 7E ./    7T J    2 »

Ostatecznie

+ 00

*cosx =—~-+2    (-l)"^j^sin/w; 0<x<?r

n«=*2

We wskazanych przedziałach rozwinąć w szereg Fouriera funkcje:

1043.    f(x) = rc—x; (0,2?r)

1044.    ę>(x) = x sin x; [—71, jr]

10, gdy — 3 < x < 0

1045.    y = {    .    . ^    ^ ,

(x, gdy 0 < x < 3

Korzystając z wyniku zad. 1045 znaleźć sumę szeregu

1 _j L ₊ _l₊ _j--i—-

ti- 32 -F 52 -f - -r (2n-\f

Rozwinąć w szereg Fouriera następujące funkcje okresowe:

1046.    f(x) = |*|, gdy -1 < x < 1; f(x) =/(x+2)

5 x

1047.    ®(x) = sin —, gdy — rr <x <n\ ę>(x) = <p(x-|-2ji)

O

1048.    y(x) = e^x, gdy — 2 < x < 2; y(x) = y(x-\-4)

1049.    u — x(n—x), gdy 0 < x < n\ u(x) — u(x+n)

Sporządzić wykresy każdej z tych funkcji oraz ich rozwinięć w szereg Fouriera.

We wskazanym przedziale rozwinąć na szereg Fouriera, zawierający tylko cosinusy, następujące funkcje:

469