314 315

314

Programowanie wypukłe i kwadratowi

Oznaczmy symbolem /?,(/■) cenę /'-tej akcji osiągniętą w okresie l. Oczekiwaną stopę zysku r_;(f) z akcji i w okresie t (t= 1, N) obliczamy ze wzoru⁴:

pM-Pi(t-1)

n(t) =-r—7z—.

Pi(t- O

natomiast oczekiwaną stopę zysku r, z /'-tej akcji — ze wzoru:

I ^N

Ni= i

■

Rozpatrujemy n spółek giełdowych. Oznaczymy przez x_: udział /'-lej akcji w portfelu (/ = 1, .... n). Udziały wszystkich akcji w portfelu sumują się do jedności, j-_: czyli:

Ż x, = 1.

Oczekiwaną stopę zysku r_n portfela obliczamy ze wzoru:

■

r,,= Z r,x,.

/= i

Klasyczną miarą ryzyka portfela jest odchylenie standardowe, czyli pierwiastek z wariancji portfela v_ir Wariancję portfela obliczamy ze wzoru:

;r n

Z Hx,x_Js,s_Jr,_r i * I jut

gdzie Sj oznacza odchylenie standardowe stóp zysku akcji /'-tej spółki, dane wzorem:

§■

natomiast r_tj to współczynnik korelacji, który obliczamy ze wzoru:

7: Z (ri(t)-r,)(rj(t)-rj)

_N!•= i    _ cov(/„ r_t)

^iJ~    SfSj    SiSj

Na podstawie powyższych wzorów możemy zapisać wariancję v_t, w inny sposób, mianowicie:

n ii

Vp= Z ZXiXjeov(r„ rj).

^Ą Obliczając stopę zysku, należałoby również uwzględnić dywidendę, która dla uproszczenia obliczeń została tu pominięta.

6.4.2. Optymalizacja portfela akcji jako zadanie programowania kwadratowego

Portfel optymalny jest to portfel charakteryzujący się najmniejszym ryzykiem przy założonej z góry stopie oczekiwanego zysku, który oznaczamy jako r„. Oznaczymy symbolem v_ij element i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy wariancji i kowariancji V. Chcąc znaleźć optymalny portfel, rozwiązujemy następujące zadanie programowania kwadratowego:

ii n

L 'Lx,XjV,_J -» min, przy ograniczeniach:

II

X r,x, > r,„

,= I i= I

0 dla i = l, n.

Przyjmujemy, że x jest wektorem udziałów poszczególnych akcji określonych

w portfelu, czyli x = [x......Oznaczamy przez 0 i 1 wektory wierszowe

o n składowych, złożone, odpowiednio, z samych zer i jedynek, a przez r — wektor oczekiwanych stóp zwrotu dla rozpatrywanych akcji, stąd r= [r₍, ..., /■„]. Po dokonaniu prostych przekształceń zadanie poszukiwania optymalnego portfela akcji możemy przedstawić następująco:

Ox-x^TVx —» max,

przy warunkach ograniczających:

rx > r₀, lx= 1, x^0.

Przykład 6.5

Zebrane zostały dane dotyczące 20 notowań pięciu spółek giełdowych. Przedstawiono je w tablicy 6.9.

Na podstawie modelu Markowitza należy określić optymalny portfel akcji, który minimalizuje ryzyko i daje oczekiwaną stopę zysku nie mniejszą niż \%.

Rozwiązanie

Korzystając z notowań zamieszczonych w tablicy 6.9, obliczamy stopy zysku w poszczególnych okresach (tablica 6.10), oczekiwane stopy zysku dla poszczególnych akcji (tablica 6.11) oraz macierz wariancji i kowariancji (tablica 6.12).