31(5)

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

■ffBMi

Wyznacz liczbę w, wiedząc, że prosta o równaniu y = x + w ma jeden punki wspólny z parabolą o

(x + l)‘ + y = 2.

Rozwiązanie:

Aby był spełniony warunek podany w zadaniu, układ równań złożony ze wzorów obu krzywych musi mieć jedno rozwiązanie.	1 y = .v + w |(.v+ l)^2 + y= 2
Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.	| y = .v + w j(.v+ 1)' + (.v + w) = 2
Drugie równanie układu jest równan icm kwadra t owym. Rozwiążmy najpierw to równanie.	(.v + \Y + (x + w) = 2 .v* + 2v + l + x + w - 2 = 0 x‘ + 3x + (w - 1) = 0
Obliczamy wyróżnik równania.	A = 3‘* - 4 ■ 1 • (»• - 1) = 9 - 4w + 4=13- 4»v
Aby układ miał jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe musi mieć jedno rozwiązanie, zatem jego wyróżnik musi być równy 0.	13 — 4»»’ = 0 4w = 13 |: 4 13 _ -> 1 "-T-^34

Odpowiedź: Prosta i parabola mają jeden punkt wspólny, gdy w = 3-^.

-4E2EHOW—-

Należy powiększyć prostokątne boisko o wymiarach 20 m na 30 m. tak aby jego pole było co najm

krotnie większe od dotychczasowego. Długość i szerokość boiska należy zwiększyć o taką samą liczbę Oblicz, o jaką liczbę metrów należy powiększyć długość i szerokość boiska.

Rozwiązanie:

Obliczamy dotychczasowe pole P = 20 ■ 30 = 600 (m ) boiska.

Załóżmy, żc długość i szerokość boiska powiększyliśmy o x metrów. Wtedy nowe wymiary boiska równe (20 + x) m i (30 + ,v) m.

Obliczamy pole powiększonego boisku.	Px = (20 + .v)( 30 + .v) (m‘)
Układamy i rozwiązujemy nierówność wynikającą z treści zadania.	(20 + .v)( 30 + x) > 2 600 600 + 20.v + 3().v + ,v^: - 1200 ^ 0 .V * + 50.v - 600 ^ 0

A - 50* - 4 - I • (-600) = 2500 + 2400 = 4900 -50-/4900    -50-70    ...

^xr 2    “    2

-50 + J4900 _ -50 + 70 _

^Ah jA na czynniki.

°’^Cr,’"n,r^żnik i pierwiastki

<****? Z 50 v - 600 ~ 0.

równania* +-¹

/.Pijemy nierówny f^taci iloczynowy licujemy wykres funkcji określonej wzorem f(x) ^{60M ,v} •

iodaytujemyrorwi.jzanje nierówności, uwzględniając warunek .r > 0-

Odpowiedź: Długość i szerokość boiska trzeba powiększyć co najmniej o 10 m.

(.v + 60)(.v - 10) > 0

= 10

km

Po zmodyfikowaniu linii kolejowej prędkość pociągu osobowego wzrosła o 10-jp a czas jazdy na trasie długości 200 km zmniejszył się o godzinę. W ciągu ilu godzin pociąg przejeżdża teraz trasę o długości 200 km?

Ro/wiązanit:

Wykonamy analizę zadania.

x - czas (w h) jazdy pociągu po zmodyfikowaniu linii (.v > 0)

(.v + I) - czas (w h) jazdy pociągu przed zmodyfikowaniem linii

- prędkość (w -^p) pociągu po zmodyfikowaniu linii - prędkość (w -^p) pociągu przed zmodyfikowaniem linii

3. RÓWNANIA I NIFRÓWNOŚfl I

Na podstawie warunków zadania układamy równanie.

Otrzymaliśmy równanie wymierne. Sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika i korzystamy ⁷ własności proporcji.

200 .v + I

+ 10

200

.v

^ro*«aniai₀k_r '^^rÓ7nik określamy jego znak.

•^^t większy od zera,

ma dw_a

200    10 (,v + I) 200

■v + I ,v + I •'

200 + I0.v + 10 _ 200

X + I    X

10*+ 210 _ 200 * + I x 200 (x + I) = *(I0*+2I0)

200.v+ 200= 10*’ + 210*

I0*^: + 210* - 200* - 200 = 0 10*² + 10*- 200 = 0 |: 10 x~ + X - 20 = 0

A = 1* - 4 • I (—20) = 1 +80 = 81 >0

_-l-/8l —1—9    .

₂    2    ⁵

_ -i + Jsi -1 + 9    ,

¹--2-⁼ 4

^XV- 2 -----2

^llcmadwa _m .

związania, ale liczba -Sjest ujemna, więc nie spełnia warunków zdania. P^r ze jeżdżą trasę o długości 200 km w ciągu 4 god/.in.