3(18)

L_

a7

V =

my    Lov'l-(v/c)²

A t

Przykład 38.3

Statek kosmiczny Jacka (o długości własnej L_{) = 230 m) mija ze stała prędkością względną v Agatę, która znajduje się w punkcie .4 (rysunek 388). Agata stwierdza, że statek Jacka mijają (od punktu B do punktu C) w czasie 3,57 pis. Ile wynosi względna prędkość v Agaty i statku kosmicznego (w jednostkach c)?

Agata

A

-------dZSZZ>.^-

^C Jacek ⁵    ”

Rys. 38.8. Przykład 38.3. W punkcie .4 Agata mierzy czas, w jakim mija ją statek kosmiczny

ROZWIĄZANIE:

Załóżmy że wartość prędkości v jest bliska prędkości światła c. Zauważmy teraz, że:

^>=■=7? 1. W zadaniu mamy do czynienia z pomiarami wykonanymi w dwóch (inercjalnych) układach odniesienia, pierwszym związanym z Agatą oraz z drugim, /wiązanym z Jackiem i z jego statkiem kosmicznym.

2. W zadaniu można wskazać dwa zdarzenia: pierwsze — Agatę mija punkt B i drugie — Agatę mija punkt C.

Q*=-v 3. W każdym z układów odniesienia drugi układ odniesienia porusza się z prędkością v i w czasie między zdarzeniami pokonuje pewną odległość:

,= °^dleg{0i5Ć .    (38.17)

odstęp czasu

Prędkość v z założenia jest bliska prędkości światła, dlatego też musimy pamiętać, aby odległość i odstęp czasu pojawiający się w równaniu (38.17) były zmierzone w rym samym układzie odniesienia.

Mamy swobodę wyboru układu odniesienia, w którym chcemy wykonać pomiary. Wiemy, że odstęp czasu dzielący zdarzenia, zmierzony w układzie odniesienia Agaty wynosi 3,57 jis, zatem skorzystamy z odległości L między zdarzeniami, zmierzonej w tym układzie odniesienia. Równanie (38.17) można zapisać w postaci

''    (38.18)

Nie znamy wartości L, ale możemy ją powiązać z podaną wartością L<>. Zauważmy, że O—^ odległość między dwoma zdarzeniami zmierzona w układzie odniesienia Jacka jest długością własną jego statku L_{). Dlatego odległość L mierzona w układzie odniesienia Agaty musi być mniejsza niż Lo> co wynika z równania (38.13) (L = Lo/y), które wyraża skrócenie długości. Podstawiając L_{)/y jako wartość L do równania (38.18), a następnie podstawiając współczynnik y dany równaniem (38.8), otrzymujemy

A /

Rozwiązując to równanie względem u, dochodzimy do poszukiwanego wyniku

Loc

V — —    ..^rr

y (cAr)² + Ll

(230 m)c

’ _v'(2.998 • 10* m/s)²(3,57 • 10“⁶ s)² 4 (230 m)²

= 0,2 lc.    (odpowiedź)

Widzimy więc, że względna prędkość Agaty j statku jest równa 21% prędkości światła. Zauważ, że w tym przypadku liczy się tylko względny ruch Agaty i Jacka; to, czy któryś z ich układów znajduje się w spoczynku względem powiedzmy stacji kosmicznej, nie ma znaczenia. Rysunek 38.8 wykonano tak, jakby Agata znajdowała się w stanic spoczynku, ale równie dobrze można by przyjąć, że to ona się porusza. Nie miałoby to żadnego wpływu na uzyskany w'ynik.

• j ,    t f

-    W omówionym przykładzie Agata mie

rzy czas. w którym mija ją statek. Załóżmy, że Jacek wykonuje ten sam pomiar, a) Który z pomiarów (może obydwa albo żaden) jest czasem własnym i b) w którym z. pomiarów otrzymamy mniejszą wartość?

38.7. Transformacja Lorentza

Na rysunku 38.9 przedstawiono inercjalny układ odniesienia S' poruszający się z prędkością v względem układu S, w zgodnym dodatnim kierunku ich osi poziomych (oznaczonych * i x'). Obserwator w układzie S przypisuje pewnemu zdarzeniu współrzędne czasoprzestrzenne y, z, t, a obserwator w układzie S przypisuje temu samemu zdarzeniu współrzędne x\ y\ z', t*. Jaka jest wzajemna zależność między obydwoma zestawami liczb?

Stwierdzamy od razu (chociaż wymaga to dowodu), że ruch nie ma wpływu na współrzędne y i z odczytywane z osi prostopadłych do jego kierunku, czyli

160    38. Teoria względności