579339716341244323436257741 n

ⁿ

^C

. * skató*¹* ^{z warunku 3}*

<v »)• ^{b> 1 C}JL«ns»ć z zadania 85.

10.1. Ww-nanic

O funkcjach flW⁵ (K*)

IL^‘    /+P(x)y-o|

^^■^***1* (I) przez zastąpienie funkcji <**>!,    .uutol

r    ktc. nazywamy tówronufm jednorodnym (względem z.n\icniv    r^-

Równanie (I) rozwiązujemy w dwóch etapach:

równania jednorodnego

■O)    y«*Ce“^,,J).

gdzie fy) oznacn funkcję pierwotną funkcji P(x).

:•_; fcMóemuonu stałej (w.. •;. >. ■ •

\7^:'>    spełnieniu/. ł«v. -    j

Wdafaik^aC»0fe(^ł»i^)4.c_i,gdzie//{x) *cn :i.    .i turkej* C*¹

te całka ogólna równania (1) promuje postne

■f-e~^Ht\H(_X) + c',).

"Af02wią?a< stosując podstawienie nt.v|-Kx) ^(p°^r‘

^{00 rów} «•"» (1) sprowadzą >*

;^?C    W«ępUjącc równanie Bcrnouliicgo:

-PU)y-_e(x)>. frąso i gj&t),

*N‘-.

Krn^MObcfO

Ro/w iązanic. u) Znajdujemy najpierw całkę ogólną równania

y’42x>«0.

■ ii Łf(v. v) 1 X(x- ^v| "-ynika, k jtf/a ; które jest/.owe iówn;uiicm o zmiennych rozdzielonych. MiaraJlw|iy|^^^H

WM+*i£tl^ >' i .->■ ..... ,_illr. _cj^m

-~2xdx, ln|y|» —x^ł 4lnjC|. y=Ce*.^!

czyli

__*•**»"

_M(,^+»>^,rfCv*^v:    o^:+^⁺²^

•_ń- w¹

,_f w&r*⁹

*>--* "^; ■⁷ ■ ~ -?*• \ ' ^Z-**⁰*......    ^

191 b) Wsl-a .-ówka. Z icdnorou,.......

«) ««Mx.y)«.v" V(/. «). «d/tc m

B

$ JO. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE I RÓ\\ \“f "_f._R, /+P(x)rCW.

A «*) 1 0u> .akładuny. te są ciągłe w pcw tu    ule (a.6).

) 10. Równanie linkmc t równanie

Przykłady

9?. Rozwiązać równania: a) /+2xy=*xe'^M'; b) y-4tgx-y«sin2x*. c) y +cosx-y«*"—:    d) / 4/'<x)>-/(*)/"(*>.

icnntarny Małą, t/n. znajdujemy taką funkcję C-Cł.tk 2e luńfcJ

= 0'.vV*‘* spełni równanie/+2xy®W*^ł. Zatem    j

y'« C (x) ł~ ** - 2xC (x) e" *^ł.

C'(x)e-**-2xC(xje“'' 42xC(xje"** -x»'< }|_

('\i-V-fC, Poszukiwana całka ogólna przyjmuje zatem p<

>«e-'*(lx^J+C,).

postawienie y(x)«ir(x)*r(x); zatem

V¹ ur-t-tłs'*, czyli u'p4iit>'+ur.^,tgx -si»2x

lut    • r/.:dkownniu

(b>    u'p 4(t>’ 4 oIgx)U *=sio 2x. Ą

/ k. postaramy się lak dobrać funkcję p(x). aby r*4») tgx®0. Otół.

ifr

=*-tgx</x. In |i'J=ln jcos.tj, i (x)«cdScst (*).

>i- o _k ziMic/ioną funkcję do (b), otrzymujemy    ■

cos.vn'«sin2x. czyli u(x)=* J2*inxdx^-2co»-a-C, \ więc poszukiwana całka ogólna przyjmuje postać

>•=u (x) ctx) *= - 2 co*^: ,x 4 C, cos x. c) Stosujemy wzór (4); P(x)~coix, g(x)«»e"*"'. skąd

/ (x)»«inx.    Qe^,ł*^ł=e -^'-1.

---

(*) Bierzemy jedno rozwiązanie uczcrOIik.

ZMłiUa a fMWMtyfcl. ft Ił