7(9)

Sztuka rozwiązywania zadań

Porada 6: Sprawdzaj wymiary

Wymiarem piędlcości jest [L/T\. i/.n. iloraz długości L i czasu a wymiarem przyspieszenia — \L/T'\. W każdym równaniu wymiary wszystkich jego składników nuis/ą być jednakowe. Jeśli ^,mŁV/ wątpliwości co do poprawności równania. 10 sprawdź, w mm zgodność wymiarów.

Sprawdźmy wymiar) w równaniu (2 15). tzn .v - _V(l

^,W    że każdy składnik pow inien L*

wynuar długości, ponieważ laki jest wymiar wielkość, * j , Wyra/ r,,' ma wymiar |(/./7’M*/ >| =. i/.|. a wyraz {<„•' ' *

[( ■/ )(7 )| - |/,| Tak więc wymiary w lym wzorze sa zgodne    *1

2.7. Stałe przyspieszenie w innym świetle

^D7 ^pi°^{rWSZe ri}"^v,,;,niil F*** " '"Mi - I *| równaniami palmowymi / k.ń ry,l.    po«*lalc. to du;, rów,unia można otr/ymać. oalkrnao niw.'

¹⁰    l»v.yspieN/.onic, pr/y założeniu, że o jest stale. Ahy wyprowadzi

rownamc (-.11). zap.s/.my definicję przyspieszeni:, tw/ór (2.8)1 u p,wL,:

lir — r/d/.

(jiorao <■(,«<- nieoznaczoną z obydwu stron równania, otrzymujemy:

j dr — j tn\i.

Przyspieszenie „ jest stale, dlntcęo możemy je wynieść przed znak całki Otrzy- | mujeiny więc:    ^} j

I di* = a I d/.

n si.id:

^{: C}- (2.20)

Wyznaczając sial;, całkowania r zauważ, że dla / = 0 m_ilmv <• = l>ods._a.

wujac ic wartość, do równania ,2.20. (które obowiązuje w każdej chwili. „ wiec i w chwili / —0), otrzymujemy:

i'o - r^KO) + c = c.

Wstawiając ten wynik do równania (2.20). dostajemy równanie fu,

Aby wyprowadzić równanie <2.15,. zapisz,„y dcli,„ej,, prędkość, (wzór ,U»

” pOSluCl.

d.v = rd/,

ni.>rac całkę nieoznaczona z obydwu stron ic,:o równania, otr/snmjcn.y:

j d r = I , d;

Prędkość nie mus, być sta,a. więc nie można jej'wynieść przed znak całki. Mo-^{emy Jcd}"^{i,k W ,C) m,c|scc} »*"* wyrażenie dane wzorem (2.11). otrzymując.

/<>.v = j (t'„ I tu)t\t.

w^poslaci '¹' '^Jk ' " ^{Si| Sli}'^,e' ^dlaIC°° '^{CZ r<>wilanie} Powyższe można zapisać

/d-v = <\> I iii + n j uit.

■ Panorama, poznaczony jcM dla czytelników znających już rachunek całkowy.

Całkowanie prowadzi do wzoru:

v = ruf -ł- \(tr -f- C\    (2.21)

edzie C jest inn;| stali) całkowania. W chwili i - 0 mamy v = .y₀. Wstawiając Jo do rów nania (2.21). otrzymujemy v₀ = C. Zastępując C w równaniu (2.21) przez Au. dostajemy równanie (2.15).

2.8. Spadek swobodny

gdybyś rzucił jakieś ciało w górę lub w dół i mógł w jakiś sposób wyeliminować wpły^w powietrza na jego nich. mógłbyś stwierdzić, że doznaje ono przyspieszenia n stałej wartości skierowanego w dół. Przyspieszenie lo nazywamy przyspieszeniem ziemskim, a jego wartość bezwzględną oznaczamy piv.cz g. Nie zależy ono od właściwości przedmiotu, takich jak: masa. gęstość czy kształt — jest takie samo dla wszystkich ciał.

Piz.)kład swobodnego .spadku ciał pokazano na rysunku 2.9. na którym przedstawiono serię zdjęć stroboskopowych spadającego pióra i jabłka. Obydwa te przedmioty spadają z takim samym przyspieszeniom, którego wartość bcz-wzulćdna wynosi ę. Inaczej mówiąc, ich prędkość rośnie w jednakowym tempie.

Waitość « zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograhez nęj i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach z tego rozdziału będziemy używać wartości # — 9.S m/s*. odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza.

Równania ruchu ze stałym przyspieszeniem, podane w tabeli 2.1. opisują także spadek swobodny ciał w pobliżu powierzchni /.icm. izn. ruch w pionie ciał rzuconych do góry lub w doi. o ile tylko wpływ* powietrza na ruch ciała można pominąć. Zauważ jednak.-że dla spadku swobodnego: I) ruch zachodzi nie wzdłuż poziomej osi .v. lecz wzdłuż pionowej osi y. przy czym kierunek dodatni y to kierunek ku górze (będzie to ważne w dalszych rozdziałach, gdy będziemy badać ruch łączny w pionie i w poziomie): 2) przyspieszenie ciała spadającego swobodnie jest zawsze ujemne, tzn. ma kierunek ujemny osi y — jest skierowane do środka Ziemi. W zadaniach będziemy wiec zawsze przyjmować, że wynosi ono —g.

Przyspieszenie spadku swobodnego w pobliżu powierzchni Ziemi wynosi a = --.i? = -9.S n>/s^:. a jego waKaśr hczw.yląlmi jc<l równa g •= 9.8 iu/s^:. W miejsce jf nie wolno podstawiać wartości - 9.S m/s^-.

. Wyobraź, sobie, że rzuciłeś pomidora prosto do góry. z. prędkością początkową i'_(ł, a potem złapałeś go. gdy znalazł się znów w punkcie wyrzutu. W czasie jego lotu swobodnego, tzn. od chwili wyrzucenia do chwili pochwycenia, ruch pomidora opisują równania z tabeli 2.1. Przyspieszenie wynosi przez, cały czas <j — -1> ~ -9,8 m/s² — jest ujemne, tzn. skierowane w duł. Natomiast prędkość pomidora zmienia się, jak to wskazują równania (2.11) i (2.16). W czasie wznoszenia się pomidora jego prędkość jest dodatnia, lecz coraz mniejsza, aż do zera W chwili, gdy prędkość pomidora jest równa zeru. osiąga on największa wysokość. W c/asie ruchu w dół jego prędkość jest ujemna, a jej wątłość bezwzględna rośnie.

Rys. 2.9. Spadając swobodnie w próżni pioio i jabłko poruszają mc w doi z nikim samym przyspieszeniem o warto ści bczwzględnci v- Ruch jest przyspio-s/oii). dlatego leż kolejne obrazi ciut s;; coraz, bardziej odlegle ik! siebie. W id.u jednak, że pod nieobecność powicir/u odległości kolejnych obrazów są jednakowo dla pióru i dla jabłku

2. Ruch prostoliniowy

2.8. Spadek swobodny