ALGEBRA LINIOWA - EGZAMIN PISEMNY -TERMIN A ZADANIE l
A. TEORIA (2pkt). Aksjomaty grupy, podstawowe własności, przykłady.
B. OBLICZENIA (3 pkt). Rozwiązać równanie x~xa = b w grupie permutacji
Si, przyjmując, ze
1 2 3 4 5 4 12 5 3
orazb =
1 2 3 4 5
2 5 4 3 1
Sprawdzić czy grupa Si jest przemienna.
ZADANIE 2
A. TEORIA (2pkt). Tw Kroneckera-Capelliego. Rozwiązywanie układów rownan
liniowych.
B. OBLICZENIA (3 pkt). Napisać macierz rozszerzona dla poniższego układu rownan
liniowych, a nastepme go rozwiązać.
x -y -r2z -w = 2
< 2x -2y +5z -5w = 3
I -x +y -8m* = 5
ZADANIE 3
A. TEORIA (2pkt). Liniowa niezależność, baza.
B. OBLICZENIA (3 pkt). Dla danych wektorów (wierszy) u = [1,-1,2,-1],
v = [2,-2,5,-5], w = [-1,1,1,-8], niech V = Un{u,v,w); tzn. V jest przestrzenia rzeczywista, rozpięta na wektorach u,v i w. Wyznacz>’c bazę i wymiar przestrzeni V
ZADANIE 4
A TEORIA (2pkt). Mad er? przekształcenia lirowego wzglcucm baz.
B. OBLICZENIA (3 pkt). Przekształcenie liniowe T : Rl -> R2, określone jest wzorem: T(xty, z) = (x - 2y + r, 3x - y + 2z).
Wyznaczyć maderz przekształcenia T względem poniższych baz B\ \Bz.
Bi = ((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)) wi?3oraz B2 = ((1,2),(0,1)) w*2.
ZADANIE 5
A. TEORIA (2pkt). Wartości własne i wektory własne. Obliczanie.
B. OBLICZENIA (3 pkt). wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy
A =
1 0 2 0 4 0 2 0 1
Sprawdzić czy wektory własne odpowiadające rożnym wartościom własnym sa ortogonalne.