ALGEBRA LINIOWA - EGZAMIN PISEMNY -TERMIN A ZADANIE l

A.    TEORIA (2pkt). Aksjomaty grupy, podstawowe własności, przykłady.

B.    OBLICZENIA (3 pkt). Rozwiązać równanie x~^xa = b w grupie permutacji

Si, przyjmując, ze

1 2 3 4 5 4 12 5 3

1 2 3 4 5

2 5 4 3 1

Sprawdzić czy grupa Si jest przemienna.

ZADANIE 2

A.    TEORIA (2pkt). Tw Kroneckera-Capelliego. Rozwiązywanie układów rownan

liniowych.

B.    OBLICZENIA (3 pkt). Napisać macierz rozszerzona dla poniższego układu rownan

liniowych, a nastepme go rozwiązać.

x    -y    -r2z    -w    =    2

<    2x    -2y    +5z    -5w    =    3

I    -x    +y    -8m*    =    5

ZADANIE 3

A.    TEORIA (2pkt). Liniowa niezależność, baza.

B.    OBLICZENIA (3 pkt). Dla danych wektorów (wierszy) u = [1,-1,2,-1],

v = [2,-2,5,-5], w = [-1,1,1,-8], niech V = Un{u,v,w); tzn. V jest przestrzenia rzeczywista, rozpięta na wektorach u,v i w. Wyznacz>’c bazę i wymiar przestrzeni V

ZADANIE 4

A TEORIA (2pkt). Mad er? przekształcenia lirowego wzglcucm baz.

B. OBLICZENIA (3 pkt). Przekształcenie liniowe T : R^l -> R², określone jest wzorem: T(x_ty, z) = (x - 2y + r, 3x - y + 2z).

Wyznaczyć maderz przekształcenia T względem poniższych baz B\ \Bz.

Bi = ((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)) wi?³oraz B₂ = ((1,2),(0,1)) w*².

ZADANIE 5

A.    TEORIA (2pkt). Wartości własne i wektory własne. Obliczanie.

B.    OBLICZENIA (3 pkt). wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy

1 0 2 0 4 0 2 0 1

Sprawdzić czy wektory własne odpowiadające rożnym wartościom własnym sa ortogonalne.