Capture038

Każda średnia obliczona z próby o liczebności N stanowi estymator sted,. w populacji Średnia w populacji jest wartością, która obliczono by. gdyby rno/ii byfc> dokonanie pomiarów wszystkich elementów populacji. Różnice między wam.., nu z ptóby a wartością W populacji omówiono w rozdziale I. C harakiery ,t>. ₇. cechą średniej jest to, ze w przypadku większości rozkładów jest ona dokładnie: bąSB skuteczniejsza jako estymator średniej w populacji aniżeli takie nu.uy i. cp centralnej, jak mediana i wartość modalna jako estymatory odpowiadając >v.t wartości w p«»pulacji Średnia jest najmniej podatna na błąd Jest to tedna / _; laęCWTćtórei icst ona najczęściej stosowaną miarą tendencji centralnej Do tego twierdzenia przekraczałby zakres tej książki.

Omówiliśmy szereg cech średniej arytmetycznej. Jakie jest znaczenie t> cech? Dlaczego trzeba je omawiać? Fakt. że suma odchyleń od średniej równa _K 0, poważnie upraszcza postać wielu dzialaiT~algebraicznych. Każdy c/.Ton • TawTer^umiTódiniytfn ód średnięJTzTnika ToT“'c suma kwadratów odchyleń średniej jest najmniejsza, pozwala sformułować alternatywną definicję średni-. średnia jest to mŁzi miara tendencji centralnej, od której kwadrat odchyleń > 'najmniejszy. W istocie średnia jest miarą łcndcpcji centralnej w sensie na,nu, SzyćlHćwadratóss Metoda najmniejszych kwadratów ma ogromne znaczenie w m._; ty Sty cc i jest stosowana na przykład przy dopasowywaniu prostych i krzywy, Średnią można uważać za punkt określony metodą najmniejszych kwadratów Fak: ze średnia z próby stanowi lepszy estymator parametrujłopulacji aniżeli inne miar tendencji centralnej, ma znaczenie zasadnicze. W całej statystyce zajmujemy formułowaniem twierdzeń o wartościach charakteryzujących populację, upicrau się na naszej wiedzy o wartościach charakteryzujących próbę. Oczywiście im d. kładmejsze są te twierdzenia, tym lepiej.

4.6. Mediana

Inną powszechnie stosowaną miarą tendencji centralnej jest mediana. Media: jest wartością dzielącą wszystkie pomiary na pól. czyli tak. że połowa pomiaru 'nmFsci się poniżej niej. a poło w iTp<> wyżej Rozważmy następujące wartości zmier nej X uporządkowane według rang. gdzie R określa rangę, a N jest liczbą nieparzystą:

X    2    7    16    19    20    25    27

#    1    2    3    4    5    6    7

W przykładzie tym medianą jest 19. Odpowiada ona randze środkowej. Trzy pomiary mieszczą się poniżej niej. a trzy powyżej Gdy dodamy jeszcze jeder. gomiar. na przykład 31. wówczas,ALsiaic sic liczba parzyffif tmedmne określa mc zgodnie z przyjętym zwyczajem, dowolnie, średnią arytmetyczną z dw. wartości smdkowych. 19 i 20. a więc i l‘J * 20J/2    |ó,5

W przypadku niektórych zbiorów danych pojawiają się problemy z oblicza nietn mediany Rozpatrzmy następujące wartości zmiennej X:

I 2345/>7^ <_t ,₀

Dla łych 10 wartości mus.my określić laki punki, by pniowa pomiarów rme ściła sic p<łwyżcj niego, a połowa ponilej Możemy tu zastmnwać dwie różne procedury Wybór procedury należy od tego. czy zmienna traktujemy ;uko cu,.-Uj czy jako nieciągłą. Jeżeli zmienna w naszym przykładzie jest ciągła, możemy przyjąć. że wartości 8 zajmują przedział od 7.5 do %JS Medianę określamy wówcza* przez interpelację Umową. W tsm przypadku interpolujemy dwie trzecie dpr-gt W kierunku przedziału, tak ul    lic punkt powyżej i pomZej którego Ujęta s* po

połowic pomiarów Mediana równa jest w«    5 ♦ 0.67    /eh nMnmćut

zmienna jest nieciągła i może przyjmować wartości tylko -.pośród bćzbcałkowitych, to za medianę przyjmujemy wynik odpowiadający randze środkowej, równej tS + \/l W naszym przykładzie. jeżeli dane są nieciągłe, mediana równa jest 3.

Gdy pewne wartości zmiennej występują więcej niż jeden raz. i zmienna jest nieciągła, medianę oblicza się metodą stosowaną przy obliczaniu mediany dla danych pogrupowanych w postaci rozkładu liczebności, opisaną w rozdziale 4 7

4.7. Obliczanie mediany

dla rozkładów liczebności

Obliczanie mediany dla danych pogrupowanych w postaci rozkładu liczebności polega na określeniu takiej wartości zmiennej, by połowa pomiarów mieściła się powyżej niej. a połowa poniżej. Metoda ta zostanie przedstawiona na przykładzie danych / tabeli 4.2.

Tabela 4.2. Rozkład liczebności wyników testu psychologicznego

- >	-^ [	^3 -1
Podział	Liczebność	Liczebność
klasowy		skumulowana
45-49 >.	1	76
40-44 ^r’	2	75
35-39	3	73
30-34	6	70
25-29	K	64
20-24	17	56
15-19	26	39
10-14	11	13
5-9	2
0-4	Ó	6
Razem	76

Wykonujemy następujące kroki: Po pierwsze, zapisujemy liczebności skumulowane jak w kolumnie 3. Po drugie, określamy wielkość SI2. czyli połowę przypadków. W naszym przykładzie jest to 38. Po trzecie, odszukujemy przedział kia.

75