Capture040

12, 13. 13. 13. 13. 13. 14. 14. 14. 15. 15. 15. 16. 16. 17. 17. IX Wari.. , występuje tu pięć razy. częściej jni/cli jakakolwiek inna wartość. Jest ona u jp ścią modaliia^

W sytuacjach gdy wszystkie wartości zmiennej A' maja jednakowa lic/ebn. równa bądź większa niż 1. nie dj się obliczyć wartości modalnej. lak więc zbioru pomiarów 2. 7. 16. 19. 20. 25 i 27 nie da się u/yskac wartości inod.iln Podobnie pomiary 2. 2. 2. 7. 7. 7. 16. 16. I6TT9. 19. 19. 20. 20. 20. 25. 25 27. 27. 27 nie pozwalają na obliczenie wartości modalnej. Wszystkie wart., występują tu z liczebnością 3.

W przypadku gdy dwie sąsiadujące ze sobą wartości zmiennej X mają tę \.n liczebność, większą aniżeli liczebność innych wartości X. za wartość modalną inna przyjąć, zupełnie dowolnie, średnią dwóch sąsiednich wartości A'. Rozw j/t pmrrinń II. ITO 1~2.12:-f3; 13. 1301. 14. 14. 14. 14. 15. 15. 16. 16. 17. i, Liczebność wartości 13 i 14 wynosi tu 4. czyli jest większa niż liczebność p<>/ stałych wartości. Za^wartość modalną można przyjąć wicjkpiĆJj3 + 14J/2 13.5.^

Jeżeli w zbiorze pomiarów występują dwie nic sąsiadujące ze sobą wartość których liczebności są w iększe aniżeli liczebności w sąsiednich przedziałach, ka/o z tych wartości A' można uznać za wartość modalną. Taki zbiór pomiarów nazyw się dwumodalnym bądź him<Hja|nym_ Rozważmy zbiór pomiarów II. II. 12. i: 12. 13. 13. 13. 13. IX 14. 14, 14. 15. 15. 15. 15. 16. 16. 16. 17. 17. IX. Warto-. 13 występuje tu pięć razy i jcsl to liczebność większa niż liczebność sąsiadując z nią wartości. Wartość 15 występuje tu cztery razy i równic/ jest to liczebno, większa niż liczebność sąsiednich wartości. Ten zbiór pomiarów można na/wj. dwumodalnym.

W przypadku danych pogrupowanych w postaci rozkładu liczebności za war tość modalną przyjmuje się środek przedziału klasowego o największej Hczebnosc

Wartość modałna jest statystyką o ograniczonym zastosowaniu praktyczny ri: Nicjnożfla Poddau.i. jej przekształceniom algebraicznym. Dla rozkładów / dwu ma lub więcej wartościami modalnymi wartości tc nic-są rzecz jasna rniaran tendencji centralnej. Wartość modalną można uważać za miarę tendencji centralne tylko w przypadku takich rozkładów, w których wartości zmiennej systematycznie maleją, zbiegając ku krańcom.

4.10. Porównanie średniej, mediany i wartości modalnej

Śnedmą^aoimciyczną¹ można uważać za odpowiednią miarę tendencji centralnej u przypadku zmiennych .przedziałowych i stosunkowych. Oblicza się ją z uwzględ-mcMK-m wszystkich wartoict zmiennej. Mediana jest statystyk* porządkową Je obliczanie opiera się na porządkowych właściwościach danych Jeżeli pomiary s, zorganizowane por/ądkowo. mediana jest wartością środkową. W jej obliczanie nu wląeza się wszystkich wartości zmiennej, ważne jest tylko to. ze znajdują się one

^P°^Wyw.⁾ ',“<^h    r,*^nMC' "'""‘"■‘'I ™ «KC /b««, licyJł 5. 7. 20, 24. 25

ora/ K I . 20. 52.63 ną^jtuną raedunę - 20. */kołwiefc »ch tredme *

r:: r^ssrssrzzz

•» Kh P.-/4JIU, I.:.,,    u_b ,K«h_n„.,    ’

Porównania średniej. mediany i warto<o modalnej najlepiej jor dok on* wie dy. gdy wszystkie one /ostań;, obliczone dla tego samego rozkładu liczeboośc pr/cdstaw.en.u graficznym średnia jest punktem na osi poziome, odpow,mUjącym centrum lub środkowi ciężkości rozkładu Gdybyśmy wycięli rozkład / grubego kartonu i oparli go na ostrzu noża. punktem równowagi byłaby średnia. Mediana jest takim punktem na osi poziomej, ze wyprowadzona z mego rzędna dzieli cah obszar pod krzywa na dwie równe części Połowa obszaru mieści się po lewe;, a połowa po prawej stronic rzędnej wyprowadzonej z punktu mediany Wartość modalna jest punktem na osi poziomej odpowiadającym najwyższemu punktowi krzywej.

Jeżeli rozkład liczebności jest symetryczny, to średnia, mediana i wartość modalna zbiegają się. Jeżeli rozkład liczebności jest skośny, te trzy miar. stanowy oddzielne wartości. Rycina 4.1 przedstawia średnia, medianę i wartość modalna rozkładu liczebności skośnego dodatnio. Zwróćmy uwagę, ze średnia jest tu większa niz mediana, mediana zaś większa mz wartość modalna Je/cii rozkład jest ujemnie skośny, to zachodzą relacje odwrotne.

4

Wartość * Średnia modalna i

Mediana

Ryt. 4.1. Zdc/ność mi«<lry Credm*. mediany i wartoścu modalru w rozkładzie liczebnołci tkuśnym dodatnio

Można by zadać pylonie: jak należy dobierać odpowiednią miarę tendencji centralnej? W praktyce rzadko pojawiają się w tym względzie wątpliwości. Zazwyczaj na pierwszym miejscu obliczamy średnią arytmetyczną, przed medianą lub wartością modalną. Średnia arytmetyczna jest ściśle zdefiniowana, łatwo ją obliczać i łatwo poddawać przekształceniom algebraicznym Stanowi ona również lepszy estymator odpowiedniego parametru populacji aniżeli zarówno mediana, jak i wartość modalna.

7«*