CCF20090120046

wyrażenie „(—4)* (—5)” znaczyłoby: „Zabrać komuś 4 rachunki po 5 £ każdy”. Przypuśćmy, że zjawia się u nas listonosz i powiada: „Zdaje mi się, że przed chwilą dałem panu cztery rachunki, każdy na 5 £. To pomyłka, powinienem je doręczyć rodzinie mieszkającej naprzeciwko”. Natychmiast okaże się, że nasze położenie finansowe jest o 20 £ lepsze niż w przypadku, gdyby rachunki te były rzeczywiście przeznaczone dla nas. „Lepszej” sytuacji odpowiada znak +. A więc, dwa minusy przemnożone przez siebie dają w wyniku plus. Wnioskujemy stąd, że (—4) • (—5) = 20.

Bardzo możliwe, że Czytelnik pomyśli sobie, iż cały ten wywód to w gruncie rzeczy mnóstwo hałasu o nic. Każdy przecież dobrze wie, iż sytuacja nasza uległaby poprawie, gdyby nasi wierzyciele zdecydowali się zniszczyć nasze obligi. Więc po co tyle zachodu ze znakami „ + ” i „ — ”? Można na to odrzec, że wcale nie zamierzamy używać znaku „minus” po to jedynie, by dowiedzieć się, jaka jest sytuacja ludzi zadłużonych. Będziemy raczej zajmować się różnymi wzorami, w których mogą występować znaki minus, np. y = x^z—3x albo y = (x—1) (x — 2). Dlatego musimy wiedzieć, jak należy obchodzić się ze znakiem minus. A co to za wzory i jaki z nich można mieć pożytek,- okaże się w dalszych, rozdziałach.

LICZBY UROJONE, CZYLI OPERATORY

Łatwo zauważyć, że 3-3 = 9 oraz — 3 • — 3 również wynosi 9. Nie ma takiej liczby rzeczywistej, ani dodatniej, ani ujemnej, która pomnożona przez siebie dawałaby —9. „Dwa minusy dają plus”.

Przyjęło się iloczyn 3 • 3 nazywać „kwadratem trzech”. 9 jest więc kwadratem 3; 9 jest' również kwadratem —3. Liczby 3 i —3 nazywamy „pierwiastkiem kwadratowym z 9”.

Każda liczba, jaką tylko moglibyśmy sobie pomyśleć, posiada dwa pierwiastki kwadratowe, jeden dodatni, drugi ujemny. Pierwiastkami kwadratowymi z 4 są 2 i —2. Pierwiastki kwadratowe z 10 to (w przybliżeniu) 3,16 oraz —3,16.

Liczby ujemne w ogóle nie posiadają pierwiastków kwadratowych. Nie ma ich —9 ani — 4, aini —10. Jeśli chodzi zatem o pierwiastki kwadratowe, liczby ujemne są Kopciuszkami matematyki. Matematykom udało się jednak wynaleźć coś zastępczego. Nie mogąc dostarczyć Kopciuszkowi królewicza, wynaleźli przynajmniej robota. Roboty takie nazywamy operatorami. Operatory nie są liczbami, niemniej jednak potrafią zastępować w niektórych działaniach liczby rzeczywiste, zupełnie tak samo jak roboty, które mogą wykonywać niektóre czynności ludzkie. Na przykład, operatory można mnożyć. A pewien szczególny operator, zwany „3i”, ma tę własność, że 3i pomnożone przez 3i daje —9. Inny zaś operator, zwany „ś”, jest taki, że ,,i • i” równa się —1.

Cała ta historia z „i” brzmi jak jakaś matematyczna bajka. Ciekawe jednak, że dla wielu celów praktycznych, jak np. radiotechnika lub oświetlenie elektryczne, owo „i” okazuje się niesłychanie użyteczne. Dalej wyjaśnimy, czym właściwie jest „i” i pokażemy, że nie ma w nim nic tajemniczego.

Ćwiczenia

A. Zadania dotyczące regularności

Przy przerabianiu zadań 1—4 należy posłużyć się kratkowanym papierem, tak jak robiliśmy w związku z tabliczką mnożenia. Przy każdym zadaniu Czytelnik

95