CCF20090120147

czbarni i pewnymi operacjami mechanicznymi możliwe jest konstruowanie maszyn liczących.

Znajdziemy teraz zbiór operatorów 1, 2, 3,.. oraz +, które bardzo ściśle odpowiadają liczbom 1, 2, 3,... i znakowi + w zwykłej arytmetyce. 1, 2, 3,... nie są liczbami, ale między tymi operatorami istnieje wiele relacji, które odpowiadają relacjom między zwykłymi liczbami: operatory te i zwykłe liczby tworzą taki sam model, tak jak rodzina złożona z ojca, matki, syna i córki w kolonii szympansów tworzy taki sam model, jak rodzina złożona z ojca, matki, syna i córki w Birmingham. Ale to nie znaczy, że każdy, kto mieszka w Birmingham, jest szympansem.

Tak więc wprowadzenie operatora i takiego, że i² = “1, okaże się rzeczą zupełnie naturalną.

OPERATORY 1, 2, 3,...

Będziemy chcieli określić operatory 1, 2, 3,... Wyobraźmy sobie najpierw długą listwę drewnianą z zaznaczoną skalą. O jest pewnym ustalonym punktem, a liczby 1, 2, 3 itd. zaznaczone są w odległościach 1, 2, 3 itd. cm na prawo. Posuwając się w lewo od punktu O znajdujemy liczby —1, —2, —3 itd. w odległościach 1, 2, 3 itd. ■cm. Jest to zwykła skala, taka jak np. skala termometru.

W punkcie O przymocowany jest drut, po którym ślizga się wisiorek A. Drut może być skierowany ma prawo albo ma lewo. Operacje, jakie będziemy rozpatrywali, będą polegały albo ma skierowaniu drutu w kierunku przeciwnym do jego aktualnego kierunku, albo na przesuwaniu wisiorka A wzdłuż drutu.

Obecnie możemy określić operację 2. Polega ona na przesunięciu wisiorka A do punktu położonego na drucie :w odległości dwukrotnie większej niż poprzednia odległość wisiorka od punktu O. Operację 2 można ująć słowami: „Podwoić odległość GA”. Podobnie, operacja 3 oznacza:

7

„Powiększyć odległość O A 3 razy”. 2 — oznacza:

7    ⁸

„Powiększyć odległość O A 2—-raza”. ^x oznacza:

8

„Powiększyć odległość O A x razy”, gdzie x jest dowolną liczbą dodatnią. 1 będzie znaczyło: „Pozostawić A tam, gdzie jest”.

Można dokonać kilku operacji jedna po drugiej. Na przykład, operacja (4) (3) (2) oznacza, że odległość O A należy podwoić, następnie potroić, a następnie powiększyć cztery razy; krótko mówiąc, odległość O A należy powiększyć 24 razy w porównaniu z odległością początkową. Te trzy operacje dokonane kolejno równoważne są jednej operacji 24. A zatem (4) (3) (2) = 24. Istnieje zatem ścisła odpowiedniość pomiędzy kolejnym wykonywaniem różnych operacji i mnożeniem zwykłych liczb. Można powiedzieć, że te operacje mają tę samą tabliczkę mnożenia co zwykłe liczby.

Przez operację —1 rozumiemy, że kierunek drutu został odwrócony, ale odległość O A pozostawiono bez zmian. Tak więc, jeżeli wisiorek A znajduje się początkowo nad punktem 3, to operacja —1 przeprowadzi go w położenie nad punktem. —3. Jeżeli A znajduje się początkowo w —3, to operacja —X przeprowadzi go do 3.

Przez —x rozumiemy, że odległość O A powiększono x razy i zmieniono kierunek drutu.

Proszę sprawdzić, że (—2) (3) — —6 i że (—4) (—5) = 20. Reguły mnożenia operatorów ze .znakiem + i ze znakiem — są takie same, jak reguły dla zwykłych liczb.

297