CCF20090601004

(w pierwszym ułamku jest/(xq), ^wi?c nie ma (x - x o) i (xo - x o), w drugim jest /(xi), więc nie ma (x - x i) i (x\ -x i), itd.). Dalej:

L(x) = /(O)^(X ~ ^2)(X ~ ^4)(X ~ ⁶⁾ + /(2) (*-0)(*-4)(*-<t> _+f{4)    - °X* - ²X^ł ₊

+m

(O — 2)(0 — 4)(0 — 6) (x - 0)(x - 2)(x - 4)

(2 — 0)(2 — 4)(2 — 6)

(4 — 0)(4 — 2)(4 — 6)

(6 — 0)(6 — 2)(6 — 4)

(x - 2)(x - 4)(x - 6) x(x - 4)(x - 6) ₊ 3x(x - 2)(x - 6) ₊ x(x - 2)(x - 4)

16

8

16

20

,    5    ,

Po zredukowaniu mamy f(x) = 3--x + 2,5x~--x"

3    24

c) Postać Newtona: jest sumą iloczynów bo + bi(x -Xo) + bi(x - xo)(x - Xi) + b^{x - Xo)(x - xi)(x - xi) + ... Składników jest N + 1 (od ho do b\(x - xq)(x - X|).. ,(x - x.v-i))- Każdy wyraz b, jest sumą i + 1 ułamków o

/'(**)

postaci

(k = 0,    /), każdy mianownik ma i nawiasów (czyli np. b₄ ma 5

(x_k -x₀)(x_k -x_])(x_k — x₂)...

ułamków, każdy ułamek ma w liczniku od/(xo) do /fo), a w mianowniku - 4 nawiasy), z których usuwamy (x*-x*). DlaN = 3:

L.\(x) = bo + bi(x - xo) + b2{x - xo)(x — xi) + bi{x - xo)(x - xi)(x -X2) =

= bo + b\x + bix{ x - 2) + bix(x - 2)(x - 4)

*» = /(*») = 3, _ft|=iifoi₊/W

x₀ - X| x, - x₀ 0-2    2-0    2

+ —— = -— (k = 1 => 2 ułamki).

b-, =

/(* o)

+

/(*1 )

+

f(x 2 )

(x₀ - X, )(x₀ - x₂)    (x, - x₀ )(x, - x₂)    (x₂ - x₀ )(x₂ - X, )

3    -2    3    5

+

+

^h3 =

(0 - 2)(0 - 4) (2-0)(2-4)    (4 - 0)(4 - 2)    4

/(* o)    .    /(* i)

+

+

+

(x₀ - X, )(x₀ - x₂ )(x₀ - x₃)    (X, - x₀ )(x, - x₂ )(x, - x₃)

f(x2 )    ,    /(x₃ )

+

(x₂ - x₀ )(x₂ - x, )(x₂ - x₃)    (x₃ - x₀ )(x₃ - X, )(x₃ - x₂)

-2    3

+

+

+

8

(0 - 2)(0 - 4)(0 - 6)    (2 - 0)(2 - 4)(2 - 6)    (4 - 0)(4 - 2)(4 - 6)    (6 - 0)(6 - 2)(6 - 4)    24

5    5    5    .    20    i 5    ₃

L_n(x) = 3 - — x + — x(x- 2) - — x(x — 2)(jc — 4). Po uproszczeniu f\x) = 3 - — x + 2,5*"    x .

6. Rozłożyć węzły wielomianu 6. stopnia w przedziale (-5, 8) wg rozkładu Czebyszewa.

N = 6 (stopień wielomianu) => 7 węzłów’

a + b b-a ( 2/ + 1    ^    ,    3    13    (2i + \ ^N

.V =

cos

71

2		2		V	2N + 2 )
3	13		f 1	>	= -4.837
^0 ~2~		cos		n
	2		V14	)
o 3	13		r 7	S	= 1.5
		cos		n
^3 2	2		L14	>
3	13		f^13	>	= 7.837
A ^=		cos		71
2	2		114	)

3    13

; tu a = -5. b = 8, N = 6. i = 0.....6 => x =---cos

? ?

3 _n

? i

14

7T

3 _13

? 1

(3 ^	= -3.582	3	13		(5	\
> -71		x2 = — -		COS	—	7T
v 14 J		2	2		\14	/
(9 "	= 4.320	o	13		fu	\
S -7T		x5 = — -		cos		71
V14 ,		2	? —		ll4	)

= -1,320

= 6.582

5