CCF20090601005

7. Funkcję /(x) = 3-5sin

aproksymujcmy wielomianem 3. stopnia w przedziale (0, 6).

Napisać równanie służące do wyznaczenia współczynników aproksymacji.

Wielomian aproksymujący jest sumą: W(x) = ao <pt)(x) + «\<P\(x) + d2<pi(x) + ai<pi(x) + ... Funkcje <p,(x) zakładamy, współczynników a, szukamy z równania: H a = f. gdzie:

H =

•6

0

•6

•6

0

•6

0

•6

x^2dx	'^6x^3^v 0		' 6	18	72	324
x'dx 1	* x^4dx		18	72	324	1555,2
J xVx I	0 •6 c x~dx A		72	324	1555,2	7776 t)
J x'dx j	x^6dx o J		324	1555,2	7776	39990- 7

6a₀ +18t/, + 72a₃ + 324a₄ = jl 3 - 5 sin

^ 7ix^

tir

a,

cu

a =

a

ci

fi³-^5sin(f

£

r

3-5sin

dx

f _Trv.^^ 7CC

dx

y

sin

f =

3 -5 sin

v *■+

f _w

TDC

dx

\ * y

y

Jo^x1³-^5sin

/ „\\ 7TX

dx

18 a₀ + 72a, + 324a₃ +1555,2a₄ = j*x^3 - 5 si 72 a₀ + 324a, +1555.2a ₃ + 7776a₄ = jV j^3 - 5 si 324a₀ +1555,2^, + 7776a₃ +3999o|tf₄ = jVj^3-5sin

tir

dx

^f7ZX^

dx

	f <pl^dx da	f <Po<P\dx ... Ja	\^ba<Po<P,dx -	\\)<Psdx		~^ao'		ęb / (x)<Podx
	ęb }a<Po<P\dx	f (p]dx da	\a<P\<P,dx ...	ęb )a<P\(PNdx		^a\		ęb f(x)<pxdx Ja
H =	• • • ęb l<Po<P,dx	\^b<P\<P,dx ... Ja	jV> ...	• • • \^h(p,(psdx da	, a =	• • • */	, f=	\^bf(^x)<pidx Ja
	ęb 1<P0<PN<1X	• • • • • • ęb 1 (px(pNdx ... *a	• • • • • • \^hJp,ęNdx ...	\^h (pl dx Ja		aN _		• • • ęb , ]af{x)(pNdx

a) Postać naturalna wielomianu

lV(x) = Go + a\X + aix² + apc³ +

funkcje <p,(x) są /-tymi potęgami x, czyli

•y

(pa(x) = 1, <p\(x) = x, (fh{x) = x , ę>}(x) = x ,... U nas N = 3

b) Aproksymacja wielomianami Legendre'a: funkcje (p,{x) są kolejnymi wielomianami Legendre'a od 0-

2*1    *1    221    ^1    3    1

wego do 3-go. czyli Po = 1. P\ = x, P_i = * jc • />_, - -— />_₂ => A = —¹—x • x ----1 = —x² —,

i    i    "    2    2    2    2

^3 =

2-3-1 (3 ₂ H 3-1    5 ₃ 3

X — X-----X = — X — X

2y

3    2    2

Wielomiany te są ortogonalne w przedziale (-1, 1). dlatego za x należy podstawić zmienną £ w'g

i.-    2    „ a + b ..    _ ,    ,    2    „    0 + 6    1 „ . _n .

przekształcenia: x =--ę + ——. U nas a = 0, b = 6, więc x =--ę +-= — g -1 => Po - 1,

a-b' a - A    0-6'    0-6    3'

1    3 H    V    1    1    ,

p_x=-ę-\, p₂=--ę-\ -- = -£²-£ + i,

3    213    J    2    6

5 ^/

P}=~ .

2U 2

2^3

1 P³

3

2

-£-!] = — £³ --£² + 2£-l 3'    2 J 54'    6

Dla wielomianów ortogonalnych J <p,<Pkdx = 0 (i * k. (u, v) - przedział ortogonalności), | (p]dx - (p,

6