CCF20100119000

Kazimierz Cegiełka    Warszawa, styczeń 2006

Zakład Matematyki Katedra Nauk Ścisłych

Materiały pomocnicze dla studentów I roku studiów dziennych w SGSP Przykładowe zadania egzaminacyjne z matematyki w roku akad. 2005/06

1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstremum funkcji /, gdy: a) f (x) =

- ^ln(4-^X\b)f(x)=    ³~^X

x — 4 ’ ⁷ J v ' ln (3 — x)

2. Obliczyć: a) lim ł/3^271-1 + 4 • 7ⁿ⁺², b) lim

c) / (x) = xe ^x, d) f (x) = x²e ^2x, e) f (x) = x³e ^3x. n³ — n² — 3n + 2 \ ⁿ

n³ + n² — n J ’

c) lim (\/n³ + n

n—>oo ^v

n

+ 2), d) lim

\/3 — x

1 _x y^TT-1    3 — 3e^2x

e) lim--,,    ,r) lim-

x ' x-.o 2 — y/4 — x ’ ⁷ "Oa; — tg 2x ’

.    1 —cos4x , .    3 — 3e“^2x    1 — cos (5x) ..    ₉

g) hm-h) lim—=-, i hm-i) hm x e .

⁷ x—>0x — sin 2x ⁷    \/2 sin (3x)    ⁷ x->oe^x + e ^x — 2    ⁷ ®-*+c»

rfP*_<^cc | 'y    X ^2j

3. Naszkicować wykres funkcji /, gdy: a) f (x) = -r—-——, b) / (a:) = - +

x² — 3x + 3    2 x

x² — 3x + 3

^c) / (z) = - - ?> ^d) / (®) = ~ + e) / (x) = x f) / (x) = x 2    x o    x

x² + 4x + 5    .    . .    x² — 4x + 5    , .    x² — 2x + 1

g) / (®) =-rs—> ^h) / (^x) = —ó—I—. 0 / (*)

a: + 1

x + 2

2 — x

2 o q ’ j) f    i 2 ’

x² — 2x — 8    1 — x²

ln (3 — x)

^k) / 0) =    >-f==. 0 /(*) =    ^3x> ^m) / (®) =

Vx — 1

4. Obliczyć: a) j ^{X +} ^-⁺--dx, b) J ^ J ^ _gdx, c) J

3 — x

, n) / (x) =

1 + x ln (1 + x)

d) J

g) ./'

6x + 2 x² + 2x — 3

dx, e) /

c⁴ — 2x³ — 3x² — 4

6x — 2 x² + x — 6

gJx,

2x — 3

dx, f) /

x⁴ + x² + 2x + 1 x² + 1

dx,

x³ + 8x² + 17x + 1 x² + 8x + 17

dx, h) f

x³ — 6x² + 10x + 1 ,    6x + 9 , _r

-dx, i) J -==dx, j) J

dx

\Jx² — 1 ’

\j2x + 3

k) /' y⁷®² — 4dx, 1) / (2 — 3x) cosxdx, m) J (3 — 2x) e^1_xdx, n) J_Q² \/6x -f 4dx,

„! .-.    . _ri 2x³ + 8x² + 8x ,    . _ri 3x³ + 12x² + 6x — 7

'    ■ fo *2₊₄* + 3

r-2 X

x*

6x + 10

o) Jg¹ \/24x + ldx, p) Jg¹ v/26x + ldx, q) fj

) /' x cos xdx, t) Jg¹ xe^xdx, u) -^dx, v) /* ^dx, w) /“ ^X<ix, x)./,

ę,    cc    cc

\ r+oo    xdx    \ r+oo    1    7

^y) lo x² + 4x + 5’ ^z) '^⁰    A

x² + 4x + 3

+00

o

X⁴

dx,

dx,

5. Obliczyć pole figury ograniczonej liniami o równaniach: a) y = 0, x = —1, x = 2,

.    o ^    . .    5

y = 2x² + 1, b)"'r/ = -x i y = -4x - x², c) xy = 1 i x    + y    =    d) y    =    4x -    x² i    y    -

= x² - 2x, e) y = xe^x, x = —1, x = 0 i y = 0.

^ 6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury F wokół o^i x, gdy F jest ograniczona linami o równaniach: a) y = 3x^_x = —1, x = 0, y = 0; b) y = x², x = —1, x = 0, y = 0; c) x = 1, y = -\/2x, y = 0; d) y = cosx, x = 0,    x =    7r,    e)    y =    0,    x =    0, x    =    2

i y = v/x, f) y = —x i y = -5x - x², g) y = x² - 5 i y =    -1.    h)    y    = x²    - 3x, y    = x.

U

|>rodu.