CCF20140608000

Rozdział 2

Układ iterowanych odwzorowań (IFS)

2.1. Choinka i inne obrazki

Zaczniemy od przykładu. Jak wiadomo, odwzorowaniem afinicznym na płaszczyźnie nazywamy przekształcenie, które punktowi (x,y) przyporządkowuje punkt (x',y') w następujący sposób

x’ = a_nx + a_uy + c₂

y’ = a₂ix + a₂₂y + c₂    ^K ;

Czasami wygodnie jest zapisywać punkty płaszczyzny tak jak liczby zespolone z = x + iy. Wtedy odwzorowanie afiniczne wyraża się wzorem

z! = az + bz* + c    (2.2)

gdzie a, b, c są liczbami zespolonymi, a z* = x — iy jest liczbą sprzężoną do z. Bez trudu można ustalić zależności między częściami rzeczywistą i urojoną liczb a, b, c i parametrami a\\, ai₂, a₂i, a_22l ci, c₂ we wzorze (2.1).

Wyrażenie (2.1) będziemy też zapisywać w postaci macierzowej

z! = Az + C    (2.3)

która zachowuje ważność również wtedy, gdy z = (zi,z₂, ■ ■ ■ ,z_n) jest punktem rz-wymiarowej przestrzeni. Wówczas A jest macierzą n x n, a C wektorem mającym n składowych.

Dowolna figura geometryczna po przekształceniu afinicznym zostaje:

® przesunięta,

•    rozciągnięta lub ściśnięta w jakimś kierunku,

® powiększona lub zmniejszona,

® obrócona o jakiś kąt,

•    lustrzanie odbita względem jakiejś osi (tylko, jeśli fln^fl22 < «i2®2i)-

Wszystkie te geometryczne przekształcenia zależą od sześciu parametrów a\\, ®12/ ^fl21/ ^fl22/ Cl, C₂-

Odwzorowanie afiniczne nazywamy zwężającym, jeśli każdy odcinek po przekształceniu jest krótszy niż przed przekształceniem.