Cialkoskrypt1

160 2. Statyka płynów

Rozwiązanie

Balon na wysokości H ma osiągnąć stan równowagi pomiędzy siłą ciężkości G i siłą wyporu W (rys. 2.69):

G = m_b -g + V_b ■ p_b ■ g, W=V_b-p-g.    (a)

Z uwagi na warunek warunek G = W otrzymamy:

m_b-g + V_b-p_b-g=V_b'p-g    (b)

lub

^mb^+Vb'Pb =^vb’P-

Gęstość otaczającego powietrza p można odczytać z tablicy D.33 łub obliczyć z równania Cłapeyrona:

p 0,795-10⁵ RT ~~ (t +273,15)-287

= 1,0067 ~ 1

kg/m³.

(c)

Podobnie obliczamy gęstość powietrza zawartego w balonie:

RT,

Pb =

Po wstawieniu powyższej zależności do równania (b) znajdujemy poszukiwaną temperaturę powietrza w balonie:

T_b =

P-V_b

^{mb +} RTT^Vb=Vb'^P’

0,795 -10⁵ -2000

(V_b-p-m_b)-R (2000-1-500)-287 t_b = T_b-273,15 = 99,95° C~ 100°C, więc gęstość powietrza w balonie p_b wynosi: p _ 0,795 -10⁵

= 373,09K,

(d)

RT_b 287-284,11

= 0,742 kg/m³.

Należy zwrócić uwagę na duży udział pozornie lekkiego powietrza wypełniającego powłokę. Jego masa m_b wynosi aż

V_b • p_b = 2000 m³ • 1 kg/m³ = 2000 kg,

czyli jest czterokrotnie większa niż masa własna balonu, m = 500 kg.

ZADANIE 2.6,51

Na jaką wysokość H wzniesie się balon napełniony helem, którego masa startowa m_b = 1000 kg, a objętość powłoki V_b = 2000 m³. Przyjmujemy, że hel i powietrze są gazami doskonałymi. Ich parametry fizyczne wynoszą: masa molowa helu M_He = 4 kg/kmol, masa molowa powietrza M_p = 29 kg/kmol; indywidualna stała gazowa helu R_He = MR/M_He = 2079 J/(kg-K), indywidualna stała gazowa powietrza R_p = MR/M_P = 287 J/(kg-K), przy czym uniwersalna stała gazowa MR = 8315 J/(kg-K). Niskie ciśnienie zbliża cechy naszych gazów do doskonałych, spełniających równanie Ciapeyro-na, z którego można obliczać ich gęstość. Ciśnienie i temperatura obu gazów są takie same: p_p = p_H9 = p, T_p = T_He =T, t_p = t_He = t. Przyspieszenie ziemskie nie zmienia się, g = 9,81 m/s = const.

Rys. 2.70

Rozwiązanie

Zgodnie z prawem Archimedesa balon będzie się wznosił aż do chwili wyrównania siły wyporu W z siłą ciężkości G:

W = m_p • g = V_b ■ p_p - g,

(a)

G = m_b ■ g + m_He • g = m_b • g + V_b ■ p_He ■ g.

Z uwagi na warunek G = W otrzymamy:

^mb'g + V_b-p_He.g = V_b-p_p-g lub m_b +V_b-p_He =V-p_p. (b)

Dążymy do wyznaczenia gęstości powietrza p_p, dla której z wykresu przedstawionego na rys. 2.70 będzie można odczytać poszukiwaną wysokość H.

Współzależność gęstości helu i powietrza wyznaczamy z równania Clapeyrona, wykorzystując założenie równości ciśnień i temperatury, mianowicie: