238 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

- a2 a2 d2 J a2 a2 a' , ,2. A = ai7V+air    a?1 0
___P_    _^_p_    _ = _v_ y = ±

Po


Po

F = —, F = IX + jY + kZ,

gdzie v0, po, Po, Vo są wartościami charakterystycznymi (wielkościami odniesienia) dla danego przepływu.

Korzystając z powyższych wielkości, równanie Naviera-Stokesa i równanie ciągłości przepływu przedstawimy w postaci bezwymiarowej:

1) równanie Naviera-Stokesa

vft av


— + —(v• V)v = g-F--^--~Vp+ —v+-^~v(divv),

I. '    )    ° ni n r I2    ^l2    \    >


t0 at i0


Po^o P ^o 310


2) równanie ciągłości przepływu

Pę a£+v2pŁ—    a

t0 at i0 ;

Aby równanie Naviera-Stokesa miało postać bezwymiarową, należy je podzielić stronami przez Vq//0 (jednostkową siłę bezwładności). Wtedy przybiera ono postać:

v0t0 at


V0 Pov0 P

1    V — -

—Vp +-A v +


Lv


o vo


a równanie ciągłości przepływu jest następujące:

-div(pv) = 0.


at l


v =


31ovo


Vj^div v


- i, |

i ■* *■ i?

^ i

■ • y.

:ir li*


Jeśli dla dwóch porównywanych przepływów: rzeczywistego (1) i modelowego (2) współczynniki stojące przy pochodnych w równaniu Naviera-Stokesa są równe, to znaczy

O*"*

1

f lo )

fg/°l -

fg/°l

1

! o o >

<

O

o

UJr

^ vó J2


;V !v


to przepływy te są opisywane identycznymi równaniami różniczkowymi oraz warunkami brzegowymi i początkowymi. Zatem rozwiązania w postaci bezwymiarowej są identyczne dla tych samych wartości powyższych współczynników. W takim przypadku przepływy 1 i 2 nazywamy dynamicznie podobnymi. Równanie ciągłości przepływu nie wnosi nowych związków podobieństwa. Współczynniki te nazywają się liczbami podobieństwa i przedstawiają iloraz dwóch sił. Siłą odniesienia jest siła bezwładności związana z członem unoszenia występującym w równaniu Naviera-Stokesa. W równaniu tym występują następujące liczby podobieństwa:

Liczba Strouhala jest określona wzorem:

St =


(

Po


A

^PoV0 J]


' Po \ ^Povo )2


>

-

V 1

^QV0 )

<3

>


Vj

1 i nazywana jest również liczbą jednoczesności. Występuje ona tylko w przepływach niestacjonarnych lub okresowych. Liczba Strouhala określa stosunek składowej unoszenia do składowej lokalnej siły bezwładności.

Współczynnik stojący przy bezwymiarowym wektorze sił masowych F określa liczbą Froude’a:

Można j ą przedstawić j ako:

pr _ P^o ' vo _ P^o * vo

pg-^o yli

czyli liczba przedstawia stosunek sił bezwładności do siły ciężkości.

Trzecia zależność w bezwymiarowym równaniu Naviera-Stokesa określa liczbę Eulera:

Eu =-^r

Povo

i wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności:

Eu =......Jgąjia._

Pc/o ( V0 ^0 )

Stąd wynika kryterium Eulera podobieństwa pól sił ciśnieniowych (parcia) w dwóch przepływach. Liczba Eulera dotyczy tylko przepływów płynu nieściśliwego.