ciągi 3

19.    Wyznacz współczynniki b i c wielomianu:

a)    w(x) = x³ — 7x² + bx + c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q — 2,

b)    w(x) = x³ + 3x² + bx + c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 1.

20.    a) Niech a_n = n². Wykaż, że ciąg b_n — a_n+\ — a_n jest ciągiem arytmetycznym.

b) Niech f(x) = 3x² + x — 2. Wykaż, że ciąg b_n — f(n + 1) — f{n) jest ciągiem arytmetycznym.

21.    Wyznacz te wartości x, dla których ciąg arytmetyczny o wyrazach:

a)    x + y, x + 2y, x² + 2x + 2y — 2 jest rosnący,

b)    y - x, l, xy jest malejący.

22.    Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu (a_n), n > 1.

a) a_n = sin (| + mr)    b) a_n = n cos(n7r)

23.    Oblicz sumę wszystkich miejsc zerowych funkcji / należących do przedziału (0; 20tt).

a) f(x) = cosx    b) f(x) = sm2x

24.    Wyznacz wszystkie wartości x £ (0; 27r), dla których liczby: 2 sin 2x, cos² x i cos 2;r są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Oblicz sumę pięćdziesięciu najmniejszych dodatnich rozwiązań równania, a) cos³ x = cos x    b) 2 sin⁴ x — 3 sin² x — 1

Pierwszy wyraz rosnącego ciągu geometrycznego (a_n) jest równy 1. Wyznacz iloraz tego ciągu, jeżeli jego wyrazy spełniają równanie

0*3

2a3-|-3a2

a 3

2as~3a2

27. Wyrazy pierwszy i trzeci rosnącego ciągu arytmetycznego są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Ich wspólny pierwszy wyraz jest równy 5, a drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 10 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.

28. Drugi, dziewiąty i trzydziesty siódmy wyraz rosnącego ciągu arytmetycznego są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a ich suma jest równa 147. Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego.

38    8. Ciągi