d3

fragmencie lekcji pierwotna sytuacja matematyczna przeszła ostatecznie w sytuację metodologiczną nasuwającą łatwo pytanie o możliwość uogólnienia zarówno pewnych pojęć (wyznacznik), jak i pewnych poznanych twierdzeń. Inne sytuacje metodologiczne mogą się pojawić w związku z transferem struktury, analogiami, potrzebą racjonalizacji, porównania, oceny z różnych punktów widzenia pewnego rozumowania, oceny adekwatności pewnej definicji formalnej do pierwotnego intuicyjnego czy materialnego modelu danego pojęcia, poszukiwania formalnej definicji pojęcia uprzednio intuicyjnie ujętego, porządkowania jakiegoś fragmentu zdobytej już wiedzy z różnych punktów widzenia, klasyfikacji według różnych kryteriów i porównania przydatności tych różnych klasyfikacji itp. Na przykład przejście od planimetrii do stereometrii stwarza okazję do realizacji hasła: „oto sytuacja, zastanów się nad nią”. Jest to bowiem okazja do formułowania przez uczniów nowych definicji opartych na „podnoszeniu wymiaru” w poznanych poprzednio definicjach pojęć planimetrii, formułowaniu twierdzeń opartych na analogii i transferze pewnych stosunków z przestrzeni dwu- do przestrzeni trójwymiarowej. Sytuację metodologiczną stworzymy w toku dyskusji na temat różnych rozw/iązań tego samego zadania, różnych dowodów tego samego twierdzenia, różnych propozycji zdefiniowania tego samego pojęcia, bowiem aby taka dyskusja i porównanie byty sensowne, uczniowie będą musieli się zastanowić nad kryteriami oceny, nad kryteriami wyboru. Nie będą to już problemy matematyczne w ścisłym tego słowa znaczeniu, ale problemy metodologiczne ściśle związane z aktywnością matematyczną. Taką sytuację stworzymy również, gdy wystąpi potrzeba uproszczenia zapisu, która nasunie propozycję skonstruowania dogodnego symbolu. Motywacja projektu ucznia otwiera drogę do sformułowania problemów dotyczących symboliki i do uświadomienia sobie kryteriów dobrej symboliki.

Źródłem matematycznych problemów może być także sytuacja pozamate-matyczna wszędzie tam, gdzie uczeń musi zmatematyzować pewne dane i pewne pytanie treści pozamatematycznej, a więc wszędzie tam, gdzie dla rozwiązania problemu pozamatematycznego stosuje bądź opanowany już przezeń aparat matematyczny lub sam taki aparat musi w tym celu skonstruować.

Na tle sytuacji problemowej wyłaniają się określone już zadania, sformułowane w języku werbalnym lub werbalno-symbolicznym, z symboliką rysunkową włącznie. Tematy standardowych zadań matematycznych zawierają typowe polecenia i typowe pytania lub tylko polecenia, lub tylko pytania. Oto przykłady poleceń: oblicz, rozwiąż, skonstruuj, udowodnij, oszacuj, podaj przykład, wyjaśnij dlaczego itp. Typowe pytania to: ile?, jaki to zbiór? jaka to liczba? dlaczego? pod jakim warunkiem zachodzi ? czy jest prawdą, że ? itp. Zarówno polecenie, jak i pytanie może być sformułowane tylko w terminach matematyki, na przykład „czy funkcja x i->sin x jest ciągła w swej dziedzinie ?”, jak i w terminach „metodologicznych”, na przykład: „jak zdefiniowałbyś półprostą w ramach naszej geometrii ?” (a więc jak w ramach teorii w danym jej fragmencie można zdefiniować półprostą w sposób adekwatny do intuicyjnego pojęcia półprostej).

Zadanie może być postawione uczniowi przez nauczyciela, przez podręcznik,

10