DSC07312

46

Wielomiany

Pozostały jeszcze do znalezienia pierwiastki wielomianu o³ + (1 — i)³. Zbiór tych pierwiastków pokrywa się ze ze zbiorem yj—(1 - i)³. Jednym z elementów tego zbioru jest i(l — i) = 1 + i, a drugim —(1 -fi) = — 1 — i. Zatem poszukiwany rozkład ma postać

[z - (1 + i.)| • [z - (—1 - i)) • [z - fl - i)) • [z - (-1 + i))..

• Przykład 2.11

Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnycb

czynników rzeczywistych:

a) z⁴+ 81; b) z^r — z; c)x⁴+x² + l.

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie sformułowane w rozwiązaniu Przykładu 2.9.

a) Szukamy pierwiastków zespolonych wielomianu z⁴ + 81. Zbiór tych pierwiastków pokrywa sic ze zbiorem yf—81. Korzystając teraz ze wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych

otrzymamy

Zatem

z⁴+ 81 S

= [z³ — 3\/2i + 9] [z³+3V5z + 9].

Uwaga. Ten sam wynik można uzyskać zapisując x* + 81 w postaci różnicy kwadratów pewnych wyrażeń. Mamy

x* + 81 = (z⁴ + 18Z³ + 81) - 18z³ = (z² + »)* - (3y/2x)⁷ = [(z² + 9) - 3v/2z] - [(z² + 9) + 3\/2x] .

b) Szukamy pierwiastków zespolonych wielomianu z^ł — x = x (z® — l) . Zbiór tych pierwiastków jest sumą {0} oraz zbioru pierwiastków stopnia 8 z liczby zespolonej 1. Ponieważ

r, i,^3. i, t/3. i i ma

^ - V¹2 ⁺ T- -2 ⁺ T^ł’"*•'2 " T*^r 2 T7 •

Zatem

= *(* - 1)(* + 1) (z³ - Z + l) (i³ + * + 1) .

Przykłady

47

Uwaga. Ten sam rozkład można uzyskać korzystając ze wzoru a² — ł? — (o — 6)(a + 6) oraz ze wzoru a* ± b* = (a ± b) (a* T ab + b^a) . Mamy

i⁷ — z = z (i® — l)

= x(x-l)(x^a + x + l)(x+l)(x^a-x+l).

c) Ponieważ wielomian z⁴ + x^a +1 nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc jego rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne ma postać

x⁴ + x^ł + 1 = (z^J + ax + b) (z¹ + cz + d) ,

gdzie a,b,c,d £ R. Współczynniki a,b,c,d znajdziemy rozwiązując odpowiedni układ równać. Mamy

i⁴ + z* + 1 = z⁴ + (a -I- c)x* + (b + oc + d)x^a + (ad + bc)x + bd dla każdego z € R. Zatem

a + c    =0,

6 + oc + d = 1, ad -f be = 0, bd = 1.

Rozwiązaniem tego układu równać są dwie czwórki liczb a = —I, 6 = 1, c = 1, d = I lub a = 1, ó = 1. c = —1, d = 1. Z pierwszej czwórki otrzymamy rozkład

x⁴+x* + l = (x^I-x + l)(x^ł + x+l).

Druga czwórka daje ten sam rozkład. Zmieniona jest tylko kolejność czynników. Uwaga. Ten sam rozkład można uzyskać korzystając z faktu, że pierwiastkami równania dwukwadratowego x⁴ + x^a + 1 = 0 są liczby

1 . V5. ..    _    1, V®.    _

*i = 2 +    = =i.    = -5 + ~2¹' ** = -'■

Wtedy

—mdSSiM i I £11309

= [x^a - X +1] [x^a + X + l]

Można także wykorzystać wzór a^a — 6^a = (a - b)(a + b). Mamy wtedy x⁴ +x^a + 1 | (x⁴ +2x^ł + 1) -z*

= (** + !)’-*’

= [x^a-x + ł][z^J+x+lj.