Geometria analityczna w przestrzeni

• Przykład 5-9

Obtarć odległość punktu P = (3,2,5) od prostej I wyznaczonej przez wektor •=(1.1.1) zaczepiony w początku układu współrzędnych.

ffajaaąnnir

OiłesLsć i prektti P od prostej / (rysunek) wyznaczymy z trójkąta OPP', gdzie P' ' jat zwiem ptetopsdłym punktu P na prostą /. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, ie d = \ O Pr - OF l . W naszym przypadku mamy OP = \/3= + 2^J + 5³ = i/S

-    Ij i II» U długość wektora OP . który jest rzutem wektora OP na wektor i

nhgnr tego nutu wyraża śę wzorem (aobacz Przykład 5.6)

Iloczyn mieszany

• Przykład 5.10

OMs ryć ioczyny gyiranr podanych trójek wektorów:

a)    2= 3.—2,5;. 6= (i.-1,3), c = (—2,2,1);

b)    P T ą. 2p - 5. r, jeżeli (p,q,r) = 3.

Bozuaązzńe

a) Do ctiooaa doczyn różanego wektorów u = (zi.yj.n), 5 = (zj.yj,-,). * = (-rj.53.-s,' syliutzyWwsy wzór

DU wek«ró 3 = (3.-2.5), i = (ł, -1.3). 2 = (-2,2,1) mamy

b) W remtąoM wyfcwzyMay iMatgmj** własności iloczynu r/llenzj,,,^

« + #.*. 2). («,lk,2) + (ł,(Ó,P),

(06,6, $>, ■«(«,#,#),

i-f#, fi, *),

Przykłady

Many

(p + 7.2? - 3. ?) = (p,2? - 3. »¹) + (3.2? — 3. »¹)

= 2 (?, ?, P) - (?, 3. ²) + 2 (3. P, r) - (5.3. «¹)

= 2 - O — (?,

= -3 (?, 3, P) = 3 • (—3) = —9.

• Przykład 5.11

Obliczyć objętości podanych wiełościanów:

a)    równoleglościan ABCDA' B C D , gdzie /I = (1,0,3), B = (1,2,0), ZJ = (3,0,4), yt' = (0, —1,3);

b)    czworościan rozpięty na wektorach p = (1,1,1), q = (1, -1,0), r = (—1,3,-2). Rozwiązanie

a) Objętość równoleglościanu V rozpiętego na wektorach S, b, £ wyraża się wzorem

|V| = |(o,5,c)|.

Równoleglościan rozważany w zadaniu jest rozpięty na wektorach

3 =AB= (0,2,-3). E =AD= (2,0,1), £=AA = (-1,-1,0),

zatem jego objętość wyraża się wzorem

b) Objętość czworościanu V rozpiętego na wektorach p, q, ? wyraża się wzorem |V| = j|(¹,ł.f)|.

Czworościan V rozważany w zadaniu jest rozpięty na wektorach p = (1.1,1), 9 = (1. —1,0), P = (-1.3, —2). Zatem

1

Przykład 5.12 Sprawdzić, czy

2

a)    wektory 3 = (1,-1,2), 6 = (0,4,-I), H = (2,2,3) są wspćlplaazczyanowe;

b)    punkty P - (1,1.1). Q = (0,1.2). R = (-1.3,0), 5 = (5,0,-4) należą do jednej plaazczyzny.