Egzamin (zadania) 10 2011 zimowy80x711

Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania część I, wariant A

Uwaga. Ta część trwa 60 minut. Każde zadanie musi być rozwiązane na osobnej kartce.

1. |5 pt.| Proste l\ i h zadane są równaniami x - 3 = -2y 4 3    3z 1 oraz 2x - 2    1//    6z. Uzasadnij, że

proste te są równoległe, oraz znajdź odległość pomiędzy nimi.

2.    |5 pt.| Znajdź wszystkie rozwiązania układu równań:

2x - 3y 4- 5z = 16 3.r 4- 2y - 3c = -5 .

5x - 4i/ 4- 2z = 5

Przedstaw rachunki.

3.    |5 pt.| Rozpoznaj, jaką figurę przedstawia równanie 2z² - 32xy 4- 2y² 4- 63 = 0 obracając ją o odpowiedni kąt.

Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania część II, wariant A

Uwaga Ta część trwa 75 minut. Każde zadanie musi być rozwiązane na osobnej kartce.

4.    |5 pt.) Podaj macierze wszystkich izometrii liniowych F : R² -* R², różnych od identyczności, dla którego wektor [-3,2] jest wektorem własnym F z dodatnią wartością własną.

5.    |5 pt. ) Znajdź wartości i wektory własne przekształcenia A zadanego macierzą

0 0-

Oblicz A⁷(3,l).

6. [5 pt.| Niech ABCD będzie czworościanem, gdzie A = (1,1,1), B = (4,4,4), C = (5, -3,5) i D = (6,-4,-4). Niech B\ dzieli odcinek AB s stosunku 1 : 2, C\ dzieli odcinek AC w stosunku 3 : 1 a Di dzieli odcinek AD w stosunku 1 : 4. Oblicz objętość czworościanu AB\C\D\.

7* (5 pt.) Znajdź iloczyn wszystkich zespolonych pierwiastków 2011 stopnia z 1.