Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania część I, wariant A
Uwaga. Ta część trwa 60 minut. Każde zadanie musi być rozwiązane na osobnej kartce.
1. |5 pt.| Proste l\ i h zadane są równaniami x - 3 = -2y 4 3 3z 1 oraz 2x - 2 1// 6z. Uzasadnij, że
proste te są równoległe, oraz znajdź odległość pomiędzy nimi.
2. |5 pt.| Znajdź wszystkie rozwiązania układu równań:
2x - 3y 4- 5z = 16 3.r 4- 2y - 3c = -5 .
5x - 4i/ 4- 2z = 5
Przedstaw rachunki.
3. |5 pt.| Rozpoznaj, jaką figurę przedstawia równanie 2z2 - 32xy 4- 2y2 4- 63 = 0 obracając ją o odpowiedni kąt.
Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania część II, wariant A
Uwaga Ta część trwa 75 minut. Każde zadanie musi być rozwiązane na osobnej kartce.
4. |5 pt.) Podaj macierze wszystkich izometrii liniowych F : R2 -* R2, różnych od identyczności, dla którego wektor [-3,2] jest wektorem własnym F z dodatnią wartością własną.
5. |5 pt. ) Znajdź wartości i wektory własne przekształcenia A zadanego macierzą
6. [5 pt.| Niech ABCD będzie czworościanem, gdzie A = (1,1,1), B = (4,4,4), C = (5, -3,5) i D = (6,-4,-4). Niech B\ dzieli odcinek AB s stosunku 1 : 2, C\ dzieli odcinek AC w stosunku 3 : 1 a Di dzieli odcinek AD w stosunku 1 : 4. Oblicz objętość czworościanu AB\C\D\.
7* (5 pt.) Znajdź iloczyn wszystkich zespolonych pierwiastków 2011 stopnia z 1.