Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 3

78 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi

78 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi

"1	1	o !	2“
1	0	1 i |	1
0	0	—i <N 1 O

rz(A) = 2

Rząd macierzy głównej jest równy 2 (w pierw szej kolumnie nie możemy utworzyć innego wektora bazowego). Chcąc wyznaczyć /v</. / macierzy uzupełnionej uwzględniamy równie kolumnę wyrazów wolnych.

"1	1	o !	2"
1	0	1 11	1
0	0	0 1 to 1_

"1	1	0	! o"
1	0	1	| 0
0	0	0	i i.

i	1	0	! 2	^wi^;= w, - 2w
i	0	1	j 1	w2:=w2-w3
0	0	0	! i

W trzech kolumnach macierzy uzupełnione/ mamy różne wektory bazowe, zatem rz(U)=3.

Ponieważ rz(A)=2 * rz(U)=3, układ jest sprzeczny.

Zadanie 4.

Rozwiąż układ metodą eliminacji Gaussa:

x, + 2x₀

— x₄ =1

2x.

x₂ + x₃ + 2x₄ = -1

-x, + 3x, — x₃

3x₄ = 2

3x, + x₂ + x₃ + x₄

Rozwiązanie:

U =

1	2		0		-1	i i	1		1	2	0	-i!	1
2	-1		1		2	i i i	-1		2	-1	1	2	-1
-1	3		1		3	i i i	2		-1	3	-1	-3 |	2
3	1		1		1	i i i	0		3	1	1	1 |	0
1	2	0		-1	i i	f
2	-1	1		2	i i i	-1	w	2^: =	w2	- 2w
1	2	0		-1	i i i	1	w	3'^=	w3	-w,
1	2	0		-1	i i i	1	w	4^: =	^W4	-w,

w₃:=w₃ + w₂ WR= W a - W,

1	2	0	-i |	r	Procedura tworzenia wektorów bazowych została zakończona (gdyż do żadnej innej kolumny nie możemy
0	-5	1	4 i 1	-3	wprowadzić innego wektora bazowego). Zmienne xb x3 nazywamy bazowymi (gdyż kolumny pierwsza
0	0	0	0 |	0	i trzecia są wektorami bazowymi). Natomiast pozosta
0	0	0	o 1 1	0	łe zmienne nazwiemy niebazowymi.

\ v\ i.,r r/.(A)=rz(U)=2<n (n-ilość zmiennych). Zatem z tw. Kroneckera-' 'i" Hicgo układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań). Dwa |tM\v./r wiersze otrzymanej macierzy przedstawiają następujący układ rów-

Jx, + 2x₂    - x₄ = 1

- 5x₂ + x₃ + 4x₄ = -3’

x i 1 — 2t + s x, = t

x , = -3 + 5t - 4s

t,s e R.

x₄ =s

Konstruując rozwiązanie podstawiamy za zmienne niebazowe parametry (u nas x₂=t, x₄=sj. Następnie wyznaczając zmienną bazową Xi z pierwszego równania a x₃ z drugiego otrzymujemy rozwiązanie ogólne parametryczne.

/.udanie 5.

Mm wii|/. układ równań metodą eliminacji Gaussa:

x, + x₂ + 2x₃ = 4 2x, - 3x₂ - x₃ = 3

<

Rozwiązanie:

4x, - x₉ + 3x₃ = 11 x, -4x₂ -3x₃ = -1

1 1	2	!	4"
2 -3	-1	1 |	3	w2	= w2 +3wj
4 -1	3	! ^11		^w3:	= w3 + Wj
1 -4	-3	1 i	1	w4	= w4 + 4w,
1 1	2 !	4"				~1	1	2	i i	4"	w.	^wj	- W2
5 0	1 5 !	15	w.,:		J w3	1	0	1	i i i	3
5 0	1 5 !	15				5	0	5	i i i	15	w3:	= w3	-5w2
5 0	5 i i	15				s	0	5	i i i	15	w	w.,	5 w,