Kolendowicz 2

ł-A'

r"

stąd

7	iA_
		i*
0

o

y

c»

i.

[cm].

(5-14)

/

f ■ Odległość i, nazywamy promieniem bezwładności pola /t względem osi x.

■ W podobny sposób można wyrazić promień bezwładności i, i i₀ (rys. 5-20c i d):

" / O* rr

[cm],

(5-15)

(5-16)

Rys. 5-21

- o-

Rys 5-22

5.2.4. Twierdzenie Steinera

Wyznaczmy moment bezwładności pola A (rys. 5-21) względem osi x równoległej do osi x₀. Oś x₀ przechodzi przez środek ciężkości pola A

l_x = jy²dA.

A

■ Oznaczmy przez y\ odległość elementu dA od osi x₀ oraz przez a — odległość między osiami x₀ i x. Podstawmy y = a + y_t pod całkę wyrażenia na moment l_x. Otrzymamy wówczas

I_x — fy²dA = J[y, +a)²dA = fyjdA + 2ajy_tdA + a²fdA .

AA    A    A    A

m Pierwsza całka jest momentem bezwładności pola A względem osi *₀. Druga całka przedstawia moment statyczny pola względem osi x₀. Ponieważ oś x₀ przechodzi przez środek ciężkości pola, to jak wiadomo, moment statyczny pola względem tej osi jest równy zeru. Trzecia całka reprezentuje pole A.

W rezultacie otrzymamy

Moment bezwładności pola względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek ciężkości jest równy momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn pola i kwadratu odległości obu osi.

■ Należy zaznaczyć, że twierdzenie to jest ważne tylko wtedy, gdy jedna z osi równoległych przechodzi przez środek ciężkości.

Przykład 5-6. Wyznaczyć momenty bezwładności względem osi x i y pola ograniczonego parabolą y = kx², osią x i prostą x = a (rys. 5-22).

92