Konspekt wykadow

prof. nzw. dr hab. Andrzej Fryszkowski

E-mail: [e-mail] oraz [e-mail]

ANALIZA MATEMATYCZNA II, STUDIA DZIENNE, Grupy ID02P01-04.

KONSPEKT WYKŁADÓW

LITERATURA

Krysicki W, Włodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, Warszawa PWN;

Leitner R. Zarys matematyki wyższej, część I i II, Warszawa WNT;

Leitner R, Matuszewski W, Rojek Z. Zadania z matematyki wyższej, część I i II, Warszawa WNT;

Stankiewicz W. Zadania z matematyki dla wyższych uczelni techn., część I, Warszawa PWN;

Geweit M., Skoczylas Zb., Analiza Matematyczna I i O, Teoria i Przykłady, Wrocław GiS.

PLAN ZAJĘĆ W TYGODNIU

1.    Całki niewłaściwe I - go i II - go rodzaju. Definicja szeregu liczbowego, sumy częściowe, zbieżność szeregu. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg geometryczny.

2.    Szeregi o wyrazach nieujemnych. Kryteria zbieżności: porównawcze, d'Alemberta, Cauchy'ego. Szeregi naprzemienne, kryterium Leibniza.

3.    Szeregi zbieżne bezwzględnie i warunkowo. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności. Szeregi potęgowe Taylora i Maclaurina. Przykłady zastosowań i rozwijań.

4.    Całkowanie i różniczkowanie szeregów funkcyjnych. Zbiory w przestrzeniach n wymiarowych. Odległość punktu od zbioru. Zbiory otwarte, domknięte, ograniczone, spójne. Punkt skupienia. Brzeg zbioru. Granica i ciągłość funkcji dwóch i wielu zmiennych. Definicje Heinego i Cauchy'ego. Granice iterowane. Twierdzenie Weierstrassa (o kresach). Twierdzenie Darboux (o wartości średniej).

5.    Pochodne cząstkowe. Twierdzenie Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Różniczkowalność funkcji. Twierdzenie o warunkach istnienia różniczki zupełnej. Zastosowanie różniczki do linearyzacji funkcji.

6.    Pochodna kierunkowa funkcji. Gradient funkcji. Twierdzenie o przyrostach. Pochodne funkcji złożonej. Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych.

7.    Twierdzenia o istnieniu funkcji uwikłanej. Pochodne funkcji uwikłanej. Ekstrema funkcji uwikłanej. Wzór Taylora z drugą różniczką i jego zastosowanie.

8.    Ekstremum funkcji dwóch zmiennych w punkcie. Warunki konieczne i wystarczające. Największa i najmniejsza wartość funkcji na zbiorze.

9.    Całka podwójna w prostokącie i obszarze normalnym. Całka iterowana.

10.    Obliczanie całki podwójnej w układzie współrzędnych biegunowych. Przykłady, zastosowania geometryczne. Całka potrójna w prostopadłościanie i w obszarze normalnym.

11.    Całka iterowana, przykłady. Zastosowania współrzędnych walcowych i sferycznych. Całka krzywoliniowa nieskierowana (niezorientowana) i skierowana. Obliczanie całek krzywoliniowych nieskierowanych i skierowanych.

12.    Zastosowanie całek krzywoliniowych. Warunki niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Definicje: równania różniczkowego, warunków początkowych, rozwiązania ogólnego i szczególnego.

13.    Zagadnienie Cauchy'ego. Interpretacja geometryczna. Równania o zmiennych rozdzielonych. Twierdzenie o istnieniu rozwiązania. Równania liniowe jednorodne i niejednorodne. Równania liniowe rzędu pierwszego, jednorodne. Twierdzenie o istnieniu rozwiązań. Rozwiązanie ogólne.

14.    Równania liniowe rzędu pierwszego, niejednorodne. Metoda uzmienniania stałej. Krzywe ortogonalne. Równania liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Równanie charakterystyczne. Metoda przewidywań.

15.    Powtórzenie przerobionego materiału i przygotowanie do egzaminu.