Logika2

22 1. Rachunek zdań

5.    W miejsce znaku □ wstawić zmienną zdaniową p, q lub r, tak by otrzymane zdanie złożone było tautologią.

(a) p =$■ (->q =» □)    (b) (p=^q)Ar=>p\/0

6.    W miejsce znaku □ wstawić symbol spójnika logicznego V, A, => lub 44>, tak by otrzymane zdanie złożone było tautologią. W przypadku więcej niż jednej możliwości podać wszystkie.

(a)    pD(pVq)

(b)    (q => ->(qDp)) =$■ pV ->q

(c)    ((p    q)n->q)    ->p

7.    Niech p, q, r oznaczają pewne zdania, a p', q', r' - ich negacje. Zapisać negaqe poniższych zdań złożonych bez użycia symbolu negacji -i (można używać pozostałych spójników oraz p,q,r,p',q',r').

(a)    (q => r A p) V ~>r    (c) p =► (q => r)

(b)    -.(pVr)=>(q^p)    (d) p/\qor

8.    Zbadać poprawność poniższych rozumowań.

(a)    Gdyby Karol był żołnierzem, to byłby odważny. Lecz Karol nie jest żołnierzem. Zatem Karol jest tchórzem.

(b)    Niech x będzie liczbą rzeczywistą, taką że jeśli x ^ 1, to x > 0. Zatem x jest liczbą dodatnią.

(c)    Jeśli x — 1 = \Jx +1, to x² — 2x +1 = x +1, więc x = 0 lub x = 3. Zatem liczba 0 lub liczba 3 jest rozwiązaniem równania x — l = \Jx +1.

9.    O pewnej liczbie naturalnej n zakładamy, że:

•    n jest podzielna przez 4 oraz

•    jeśli n jest podzielna przez 2, to n jest podzielna przez 3.

Czy stąd wynika, że liczba n jest podzielna przez 12?

10.    O pewnej liczbie rzeczywistej x zakładamy, że:

•    jeśli x > —1, to z faktu, że x > 0 wynika, że x > 1 oraz

•    jeśli x < 1, to x > —1.

Czy stąd wynika, że liczba x jest dodatnia?

11.    Które spośród zdań: p => p, (p =$> p) => p, ((p p) => p) => p,... są tautologiami?

12.    Zdefiniować koniunkcję, implikację i równoważność za pomocą negacji i alternatywy (czyli wykazać, że zdania pAq,p=>qip<£>qsą równoważne zdaniom, w których występują tylko spójniki -> i V).

13.    Zdefiniować alternatywę i koniunkcję za pomocą negacji i implikacji.

14.    Uzasadnić, że negacja nie jest definiowalna przez alternatywę i koniunkcję (czyli, że żadne zdanie, w którym występuje tylko jedna zmienna zdaniowa p oraz spójniki V i A, nie jest równoważne zdaniu ->p).

15.    Uzasadnić, że implikacja nie jest definiowalna przez alternatywę i koniunkcję.

16.    Spójnik | zwany kreską Sheffera definiujemy następująco:

p\q 44> -ip V ->q.