Matematyka 2 9

198 111. Rachunek calknwy funkcji Kiciu zmiennych

Przyjmując oznaczenie <D(t)=F(x(l),y(l)) mamy

cD'(0 = F'(x(t),y(t))x^#(t)+F;(x(i).y(t))/(t).

W konsekwencji

1= J«H^,(l)di=*P(l)||’_> = F(x(t).y(l))C =

U

= F(x(P).y(P))-F(x(G)_fy(a))=F(B)-F(A).

czyli

|p< x, y )dx + Q( x, y )dy = F( B)—F( A).

K

Wynik ten oznacza, że całka krzywoliniowa funkcji P i Q nic zależy od drogi całkowania w obszarze D

Z twierdzenia 7J, a także z przeprowadzonego tu dowodu, wynika następujący wniosek.

WNIOSHK. Jeżeli funkcje P(x.y), Q(x.y) i ich pochodne P'. Q'_t są ciągłe na obszarze jednospójnym D oraz

P;<*,y)=Q;<x_fy) dla (x.y)eD,

to całka krzywoliniowa skierowana funkcji P, Q nic zależy od drogi całkowania w obszarze D. przy czym dla dowolnych punktów A i B tego obszaru mamy

D

(7.8)    JP( x,y )dx + Q( x.y kiy = F( B)- F( A) s F( x. y) | “ .

A

gdzie F oznacza dowolną z funkcji pierwotnych wyrażenia podcałkowego-

PRZYKŁAD 7.4 Obliczymy cułkę

f ln(l + v^Jklx-H -2y)dv.

m    ^,+y

O.o»

2xy

y^:

Ponieważ

y⁼    p; = Q; dla (x,y)eR*,

l+y‘    ł+y

p/ _ -y r\< _ ²-V n» _/\i    .u.. f..

więc całka ta (lak. jak to wynika / zapisu) nie zależy od drogi całkowania w obszarze D= R* . Całkę tę możemy obliczyć korzystając zc wzoru (7 8) lub, po wybraniu dowolnej drogi całkowania o początku A =(0.1) i końcu B = (3,0). zamieniając ją na całkę oznaczoną.

Metoda 1. Szukamy funkcji pierwotnej wyrażenia podcałkowego. tzn. takiej funkcji F. dla której

F'=ln(l ₊ y²).

(I)

F' =-^-2y ^y 1+y²    ^

Z pierwszego z tych równań, przez całkowanie względem x, otrzymujemy, żc

(2) F(x.y) = xln(l + y²)+<p(y),

gdzie ip(y) jest pewną funkcją zmiennej y. Z równości (2) wynika. że

t+y

Porównując ten wynik z drugim równaniem układu (11 mamy

i^₊p'(y) = -^-2y. l+y“    l+y

(p'(y)=-2y.

<P(y)=-y‘+C,

gdzie C jest dowolną stałą.Tak w^rięc. zgodnie z (2). każda funkcja postaci

F(x,y)=xln(l+y²)-y² +C.

jest funkcją pierwotną wyrażenia podcałkowego.

Korzystając ze wzoru (7.8) mamy

(3.0)

f ln(l+y²)dx+(-—-^r“2y)dy = ( xln(l + y²)-y^: )f ^»1.

<0.0    ^l+V    ^k0*^,)

Metoda 2. Całkę obliczymy przyjmując, że krzywą całkowania jest łamana ACB, gdzie C = (0,0), (rys. 7.14). Wówczas