Matematyka 2 #7

236 IV Równania róiniczkoae zwyczajne

y =--—r, CeR, y = O

i-or

(rozwiązanie y = 1 otrzymujemy z pierwszego wzoru przy C = 0).    ■

PRZYKŁAD 2.7. Znajdziemy krzywe y = y(x). dla których odcinek normalnej w dowolnym punkcie, zawarty między punktem krzy wej i osią 0x ma stałą długość równą a, a > 0.

Piszemy równanie normalnej w dowolnym punkcie (x„,y₀) krzywej y = y(x):

Punkt Q przecięcia normalnej z osią 0x wyznaczymy z układu równań

|y = yo-(*-x₀)/y*(x₀).

I y—o*

Punkt Q ma współrzędne (x₀+y₀y'(x₀ ),0). Ponieważ długość odcinka PQ normalnej jest równa a. więc

(y₀y'(Xo))^{2 +} yJ = ^a2-

Z warunków zadania wynika więc, że dowolny punkt (x,y) szukanych krzywych spełnia równanie

(1)    y^ł(y')^J + y³-a^!.

Jest to równanie różniczkowe tych krzywych. Rozwiązując równanie (1) względem y’ otrzymujemy

(2)    y‘=-V^a2-yVy

lub

(3)    y’⁼ ^a^{: -} y² /y •

Rozwiązujemy najpierw równanie (2). Funkcje stałe y = a i y = -a dla x e R są rozwiązaniami szczególnymi tego równania. Przy założeniu, że y e(-a.O) lub y€(0,a) znajdujemy pozostałe rozwiązania równania poprzez rozdzielenie zmiennych i całkowanie:

W”-*""-

(x + C)⁵ + y* =a⁵.

czyli

przy założeniu, że x + C > 0.

Analogicznie otrzymujemy, że rozwiązanie ogólne równania (3) ma postać    _

~V^a*" y² = *⁺c.

czyli

(x + C)^; + y² - a^:, przy założeniu, że x + C<0.

Równanie (1) ma więc rozwiązanie określone wzorami: y = a i y = -a oraz (x + C)^: + y² = a* przy założeniu, że y * 0. Krzywymi spełniającymi żądany warunek są: proste y = a i y = -a oraz każdy okrąg o środku w dowolnym punkcie osi 0x i promieniu równym a, z wyłączeniem punktów przecięcia tego okręgu 7 osią 0x.    ■

W następnym przykładzie wyznaczymy trajektorie ortogonalne pewnej rodziny krzywych. Wyjaśnijmy krótko to pojęcie:

Niech będzie dana na płaszczyźnie jednoparametrowa rodzina krzywych.

Trajektoria izogonalna jednoparametrowej rodziny krzywych to krzywa, która w każdym punkcie tworzy stały kąt <p z przechodzącą przez ten punkt krzywą tej rodziny

W szczególnym przypadku, gdy tp = rc/2, trajektorię nazywamy ortogonalną.

Rozważmy najprostszy przykład: niech będzie dana rodzina prostych równoległych do prostej y = x. Trajektorią ortogonalną tej rodziny jest prosta y = -x, a także każda prosta równoległa do niej, czyli y = -x + C, gdzie C jest dowolną stałą. Otrzymaliśmy więc całą rodzinę trajektorii ortogonalnych.

Z definicji trajektorii ortogonalnych wynika metoda otrzymania równania różniczkowego tych trajektorii, gdy dane jest równanie różniczkowe rozważanej rodziny krzywych:

F(x,y,y') = 0.