Matematyka 2 27

3?6 V. Elementy rachunku prav.tlopoJobiensrwg

PRZYKŁAD 2.6. Dane jak w przykładzie 2.5. Zakładamy, że urządzenie uległo awarii. Wyznaczymy pr-stwo tego, że nastąpiło to przy pracy w trudnych warunkach

Przy oznaczeniach z przykładu 2.5 należy znaleźć P(A₂|A). Na podstawie twierdzenia Bayesa otrzymujemy

P(A_:(A)=

P(A.) P(A1A_:) P(A)

0,30,4

0,70.1+0,30,4 19

=-£=0.63

Uwaga. Występujące w twierdzeniu Bayesa pr-stwa

(a)    P(A,), P(Aj),... ,P(A_n)

można traktować jako pr-stwa zdarzeń A przed rozpoczęciem badania.

Dlatego nazywa się je pr-stwami a priori zdarzeń A,.A₂.....A_ri (a priori

- znaczy: z góry, przed badaniem).

Pr-stwo zdarzenia jest miarą szansy zajścia tego zdarzenia zależną od posiadanej przez nas informacji. W rezultacie badania zagadnienia wzbogacają się nasze informacje. Mogą zatem zmieniać się pr-stwa zdarzeń związanych z tym zagadnieniem. Tak więc zamiast pr-stw P(A,), P(Aj),... .P(A_b) mamy pr-stwa warunkowe

(b)    P(A,|A). P(Aj|A).....P(AJA).

Pr-stwa te nazywa się pr-stwami a posteriori zdarzeń A,,A₂,...,A_n (a posteriori - znaczy: z dołu, po badaniu, po doświadczeniu).

Niezależność zdarzeń Niech będzie dana pp

(0_1<rą.P). Niech A.Be^A Mówimy, że zdarzenia A, B są niezależne (dokładniej: stochastycznie niezależne), jeśli (2.8)    P(AnB)=P(A)P(B);

gdy l’(AnB)?P(A) P(B), to zdarzenia A. B nazywa się zdarzeniami zależnymi.

Z definicji tej i wzoru (2.3) na pr-stwo komunkcji dwóch zdarzeń, wynika, źc:

1)    jeśli P(B)>0, to

zdarzenia A. B są niezależne co P(A|B) = P(A),

2) gdy P(A)>0, to

zdarzenia A, fi są niezależne co P(B|A) = P( B).

Uwaga. Nie należy mylić pary zdarzeń niezależnych / parą zdarzeń wykluczających się Są to pojęcia zupełnie różne chociażby dlatego, że wykluczanie się zdarzeń określa się bez udziału pojęcia pr-stwa (por. zad. 7 c). d)).

Weźmy teraz pod uwagę n zdarzeń A,.A₂.....A„ ecĄ Mówimy,

że zdarzenia te są: I) parami niezależne, gdy każde dwa z nich są niezależne. 2) zespołowo niezależne (krócej: niezależne), gdy pr-stwo ko-niunkcji każdych k różnych zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi pr-stw tych zdarzeń

PRZYKŁAD 2.7 Rozważmy PP (O. ^.P), gdzie Qs{(D|_fCi>2,CD„u>₄}, cA - rodzina wszystkich 2⁴ = 16 podzbiorów przestrzeni U, P - pr-stwo wyznaczone warunkiem

P({(o_i})=...= P({u)₄})=1/4.

Rozważmy zdarzenia:

A = |a),,to₂}.    B=(q>,,<!>,}, C= {ci)|,co₄}.

Sprawdzimy, że zdarzenia A, B. C są: a) parami niezależne, b) zespołowo zależne.

a)    Ponieważ

P(AoB) = P(|to,)) = | oraz P(A)-P<B)=|-ż=i,

więc P(AnB) = P(A)P(B) i tym samym zdarzenia A, B są niezależne. Zupełnie analogicznie wykazuje się niezależność zdarzeń A. C oraz niezależność zdarzeń B. C. Zatem zdarzenia A. B. C są parami niezależne.

b)    Ponieważ

P(AnBnC) = P((oi,}) = | oraz P(A) P(B) P(C) = | | |=|.

więc P(AnBrkC)*P(A)P(B)P(C) i tym samym zdarzenia A, B, C są żespołowo zależne (mimo, żc są parami niezależno).    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1- Wykazać prawdziwość własności PI, P2.....PIO pr-stwa P sformu

łowanych w twierdzeniu 2.1.

2 Wykazać, że P(AuB)S P(A) + P(B).

3. Wykazać, że Pl(AnB')u(A^,r'.B)J= P(A) + P(B)-2P(AnB).

⁴ Wykazać, że PlAnB*)-P(A'nB)= P(A)-P(B)