Obraz4 3

150

13,5; 14; 14,5; 15; 15,5; 16; 16,5. Określ liczbę par obuwia według numeracji zgodnie z rozkładem normalnym.

4.32. Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej skokowej (X, Y) zawarta jest w tabeli:

X;	1	2	3	4
0	0,1	0,2	0	0
1	0	0,2	0,3	0,1
2	0	0	0	0,1

a)    Wyznacz brzegowe funkcje prawdopodobieństwa oraz wartości oczekiwane obu zmiennych.

b)    Oblicz współczynnik korelacji.

c)    Oblicz wartości oczekiwane rozkładów warunkowych obu zmiennych.

Rozwiązania i odpowiedzi

4.1. a) Zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem o 5 elementach E = {e_u e₂, e₂, e₄, e₅) przy czym {e,-} jest zdarzeniem losowym polegającym na wylosowaniu kuli z numerem i\

b) P(A) = 2/5, P{A') = 3/5, P{B) = 3/5, P(B') = 2/5, P(AuB) = 4/5, P(AnB) = 1/5.

= 1Q: W wyniku losowania dwóch kul może się zrealizować 10 następują

c)

^ ‘

cych zdarzeń lęgowych (par cyfr): 1,2; 1,3; 2,3; 1,4; 2,4; 3,4; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5;

d) P(A) =2/5, P{A') = 3/5, P{B) = 3/5, P(B') = 2/5, P(AuB) = 7/10, P(AnB) = 3/10, P(Q = 1, P{A\jQ = 1, P(AnC) = 2/5.

4.2.    a) P(KvT) = P(K) + P(T) - P(KnT) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52;

b) P(KnT) = 1/52, P(K) = 1/13, P(T) = 1/4, P(K) ■ P(T) = 1/52, zatem P(KnT) = = P{K) ■ P(T). Zdarzenia losowe K (wylosowanie króla) oraz T (wylosowanie karty koloru trefl) są niezależne.

4.3.    a) P(A,nA₂) = P(Ai) ■ P(A₂\A_{) = 4/52 • 3/51 = 12/2652 = 1/221.

b) P(B) = P(A{rA.₂) + P(Ą\nA₂) = P(A{) • P(A₂\A{) + P(4,) • P{A₂\A_X) =

= 48/52 • 4/51 + 4/52 • 3/51 = 17/221 = 1/13.

4.4.    P(AuB) = 0,96.

b) P(A₃|B) = 0,476.

4.5.    a) P(B) = 0,021;

4.6. a) P(JS) = 0,1375; b) P(A,|B) = 0,7273.

4.7.    P(K\W) = 0,5714, ponieważ: P(K) = 0,4, P(M) = 0,6, P(W|K) = 0,2, P(W\M) = 0,1, P(W) = 0,14.

4.8.    a) E(X) = 20, D\X) = 30; c) P(15 < X < 30) = 0,6.

4.9.    a)

Xi	0	1	2	3
Pi	0,2	0,3	0,3	0,2

b)    E(X) = 1,5, E(X²) = 3,3, D\X) = 1,05.

c)    P(X> 1) = 0,5.

4.10.    £00 = 25, D²(10= 16.

4.11.    E(X + Z) = 20, E(XZ) = 96, D\X-Z) = 10, D(X + Z) = VTo.

= 40, D — =2.

2

4.12.    E\ ~    *

4.13.    b) P(X > 2) = 0,7; c) E(X) = 2,25.

4.14.    a) p = 0,2, <7 = 0,8, n = 10, W_x{0, 1, 2, ..., 10}; P{X =k) = k = 0, 1,2,..., 10;

b) P(X = 0) = f ¹⁰ |0,2°0,8¹⁰ = 0,1074;

5 Oo0

C) P(X<5) = £    p^O^^10-* = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 + 0,2013 +

*=oV ^ )

+0,0881 + 0,0264 = 0,9936;

i° fi go

d) P(X>2) = £    p,2*0,8¹⁰~* =1-P(X <1) = 1-[P(X =0) + P(X =1)] =

= 1 - [0,1074 + 0,2684] = 1 - 0,3758 = 0,6242;

^10" v¹⁰>

f)    P(3 < X < 6) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,0881 + 0,0264 = 0,1145;

g)    F(3) = P(X < 3) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 = 0,6778;

e) P(X =10) =

0,2^I00,8° =0,0000001;

10

kn. olO-fc

10,2^0,8

h) E(X) = np = 2, D (X) = npą = 1,6.