Picture
5

2) Hnlvsvmcirvc/nii, gdyż: A » • tai y >\ r,

t.y«R

t) przechodnia, gdyż: A v s r a r$:

x,y,:ą R

•I) spójno, gdyż: A ,v <. y v v <. x.

X ,,Y«U

Kelm ja S jest relacją porządkującą zbiór R.

2.6. Odwzorowania

Pojęcie odwzorowania pokrywa się z klasyczną definicją funkcji.

Definicja 2.S

Odwzorowaniem f zbioru X w zbiór Y nazywamy relację/c X x Y, która jest niepusta i prawostronnie jednoznaczna.

Odwzorowania oznaczamy małymi literami/ g, h,...

Zamiast zapisu f a X x Y stosuje się zapis / X-> Y.

Parę (*, y) e / zapisujemy inaczej y—f(x).

Definicja 2.^l)

Odwzorowanie/ nazywamy iniekcją (lub odwzorowaniem różnowartościo-wym) wtedy i tylko wtedy, gdy/jest relacją lewostronnie jednoznaczną.

Definicja 2.10

Odwzorowanie/nazywamy suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy/jest relacją suricktywną.

Definicja 2.11

Odwzorowanie/nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest iniekcją i suriekcją.

Przykład 2.15

Relacja ScRxR złożona z par S = {(jc, y): y = logi a-} nie jest niepusta, ponieważ D_s = R * R, co powoduje, że S c R x R nie jest odwzorowaniem.

Jeżeli XcR_txR, to D_s=Ri i S jest niepusta.

a)

s	a	b	c
1
2		X	X
3
4		X

n

•V jest prawostronnie jcdnoznnc/nii, ponieważ:

A A vi =» log; x a y_} logj x => y\ - yj.

«H , V|,.V₃rl< '

( Mrzymujemy więc, że .V jest odwzorowaniem zbioru K. w R.

Przykład 2.16

Odwzorowanie /:R->R, takie że y-xⁱ, nic jest suriektywne, gd>) (I, K, u {0}. Jeżeli wybierzemy/c R x R, u {0}, to/ będzie snriekeja\ Odwzorowanie/niejest iniekcją, ponieważy = x^Ay=^: x, > x² v'    0

0X|=^2 v JC| =-X2- Odwzorowanie/ nie jest więc bijekcją.

Zadania

1. Dane są zbiory: X= {1,2, 3, 4}, Y = {a, b, c} oraz relacja S c .V x ) okre ślona tabelką:

b)

c)

5	a	b	c
1			X
2			X
3		X
4		X

s	Ci	b	c
1		X
2			X
3
4	X

Dla relacji S wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zbadać, czy relacja »S' jc -.t niepusta, suriektywna, prawo- i lewostronnie jednoznaczna.

2. W iloczynie kartezjańskim RxR określamy relację S następująco:

a)    S= {(x,y):x²=y¹},

b)    S= {(x:,^):^ = x³},

c)    S = {(.r,^):^< log₂x},

d)    S={(*,.y):;g>2x²+1},

e)    S = {{x,y):^+y² = 4},

0 S= {(:r,y): \x-y\ = 5},

g) S = {(xr,j):y = |log(x + l)|}.

Dla relacji S wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zbadać, czy relacja S jest niepusta, suriektywna, prawo- i lewostronnie jednoznaczna i narysować wykres.