Picture8

>j	'Mi v,	'•••' “i„V
V,	° ji^vi	+ “:„V
ym	“ml-*	j + •••+«.....^v„

leżeli w V jest ii wektorów bazy, a obraz każdego wektora ma iii współrzędnych, zatem aby określić odwzorowanie liniowe, należy zadać ii-iii liczb <<„ (i I,    1,Tym samym przekształceniu T można w sposób

jednoznaczny przypisać tabelę n ■ m elementów ciała K:

“l.	“l2 *	" “l„
a2,	a22 ■	•• “2»
“ml	“m2 '	- “m„

którą nazywamy macierzą. Kolumny macierzy A tworzą wektory, które są obrazami wektorów bazowych otrzymanych poprzez przekształcenie T\

A = [T(ei)T(e₂)...T(e„)\.

Pojęcie macierzy można też wprowadzić a priori, bez odwoływania się do prze kształceń i a lin iowego.

Definicja 5.2

Macierzą o wymiarach ni x n nazywamy odwzorowanie:

/;: / x J -» K, gdzie / = {1,m},J= {1,    /?}, K- dowolne ciało, h(i,j) = a,,.

Działania na macierzach

Dane są macierze A ja^    H f^i/lmxn, ć    .

Definicja 5.3. Dodawanie macierzy

Dwie macierze możemy dodać do siebie wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru:

A + B = \a„ + bi,] _mxn.

Dodajemy dwie macierze dodając odpowiednie elementy macierzy A i B.

Mnożymy macierz, przez liczby mnożąc każdy jej cienieni przez ty liczby

Definicja 5.5. Mnożenie macierzy przez macierz

Mnożenie macierzy przez macierz wykonalne jest wtedy i tylko wtedy j*<I\ liczba kolumn macierzy mnożonej (pierwszej macierzy w iloczynie) równa |t i liczbie wierszy macierzy mnożnika (drugiej macierzy iloczynu).

A ■ C = [<4]mx/>, gdzie:

n

^d,k = Z ^au^cjk

dla / = 1,.... /?;; k = 1, ...,p

A

^x muszą być równe wymiar iloczynu macL.^ m x p

Przykład 5.3

Dane jest T: R ' —> R² przekształcenie liniowe:

T(x_u x₂, xi) = {2x\ - 3x₂ + X*. -X\ + 5JC3). Wyznaczyć macierz reprezentującą to przekształcenie. 1. T reprezentowane jest przez macierz:

2 -3    1

o wymiarach 2x3, gdy w R³ i R² określono bazy kanoniczne (standardowe).

2. Wyznaczmy teraz macierz przekształcenia T, gdy w R³ określono bazę e, = (1, 3, 2), e₂ = (2,4, 4), <?₃ = (-l, 1,2), natomiast w R² bazę /,    (1,2)

fi = (3, 4).

Wyznaczamy obrazy wektorów bazowych e\, e₂, o w przekształceniu /

He,) =7(1, 3, 2) = (-5,9), 7(e₂) = 7(2, 4,4) = (-4, 18), 7(o)=7(—1, 1,2) = (-3, 11).

Otrzymane wektoiy mają współrzędne wyznaczone w bazie kanoniczne (1,0), (0, 1). Szukamy teraz nowych współrzędnych tych wektorów u' bazi f =(1,2), f₂ = (3,4), czyli korzystając ze wzoru (5.3) rozwiązujemy uklai równań: