przewodnikPoPakiecieR9

230 Wybrane procedury statystyczne

>    # wypiszmy wartość krzywej przeżycia w punktach niecenzurowanych,

>    # kolejne kolumny przedstawiają czas (time) liczbę obiektów w stanie

ryzyka (n.risk) ocenę śmiertelności do tego czasu (survival) oraz przedziały ufności dla tej oceny

>    summary(krzywaKM)

Cali: survfit(formula = czasy)

1 observation delet.ed due to missingness

time n.risk n.event survival std.err lower 957* CI upper 957, CI

10	96	1	0.990	0.0104	0.969	1.000
16	95	1	0.979	0.0146	0.951	1.000
19	93	1	0.969	0.0178	0.934	1.000
21	90	1	0.958	0.0206	0.918	0.999
29	80	1	0.946	0.0236	0.901	0.993
30	77	1	0.934	0.0263	0.884	0.987
36	60	1	0.918	0.0301	0.861	0.979
38	51	1	0.900	0.0345	0.835	0.970	yy-Mi
40	40	1	0.878	0.0403	0.802	0.960
41	39	1	0.855	0.0451	0.771	0.948
43	30	1	0.827	0.0518	0*731	0.935
48	15	1	0.771	0.0719	0.643	0.926
50	9	1	0.686	0.1030	0.511	0.921

>    U graficzna reprezentacja krzywej przeżycia

>    plot(krzywaKM)

>    # graficzna reprezentacja krzywej przeżycia w rozbiciu na grupy

określone przez poziomy zmiennej jakościowej

>    plot(survf it(czasy~daneO$Nowotwor))

Jeżeli chcemy sprawdzić czy krzywe przeżycia w dwóch populacjach różnią się znacząco, to możemy wykorzystać do tego celu test Mantela-Haenszela. Jest on dostępny w funkcji survdiff(). Poniżej przedstawiamy przykład użycia tego testu, w tym przykładzie test na poziomie istotności 0.01 pozwala stwierdzić, że dla bardziej zaawansowanych stadiów nowotworu ryzyko wznowy jest wyższe. Inny test do weryfikacji tej hipotezy dostępny jest w funkcji surv_test (coin).

>    # wykonujemy test, czy krzywa przeżycia różni się istotnie dla różnych

stopni zaawansowania nowotworu

>    survdiff(czasy~daneO$Nowotwor)

Cali:

siirvdiff (formula « czasy “ daneO$Nowotwor)

n=86. 11 observationa deleted due to miasingness.

	N	0bserved Expected		(0-E)"2/E	(0-E)-2/V
dane0$Nouotwor»l	7	0	0.913	0.913	0.99
daneOSHouotuor-2	53	4	8.532	2.408	7.09
daneO$Nowotwor-3	26	9	3.554	8.344	11.55

Chisq= 11.7 on 2 degreea of freedom, p= 0.00285

Analiza przeżycia

231

Rysunek 3.40: Krzywa przeżycia Kapłana Meyera wraz z przedziałem ufności (po lewej) oraz trzy krzywe przeżycia dla pacjentek o różnych stopniach zaawansowania nowotworu (po prawej). Krzyżykami zaznaczone są obserwacje ccnzmowaue

3.7.2 Model Coxa

Przedstawiona powyżej analiza z użyciem estymatora Kapłana Meyera pozwala na przedstawienie graficzne krzywej przeżycia oraz porównanie krzywej przeżycia dla różnych podpopulacji opisanych przez zmienną jakościową. Model Coxa pozwala na opisywanie krzywej przeżycia (a dokładniej funkcji hazardu) za pomocą zmiennych objaśniających tak jakościowych jak i ilościowych.

Dla rozkładu zmiennej losowej o gęstości f(ł) i dystrybuancie P(t.) funkcja hazardu zadana jest wzorem

MO = i™ P(t<T<t + s\T> t) = Y~Tp(i)-

Interpretacją wartości funkcji hazardu w chwili t jest prawdopodobieństwo (lub gęstość prawdopodobieństwa) przeżycia wieku t pod warunkiem dożycia do tego wieku. Wartość ta odpowiada ryzyku śmierci na jakie narażone są osoby, które dożyły do wieku t. W populacji Europy Zachodniej prawdopodobieństwo przeżycia 100 lat jest nieduże ale jest większe od prawdopodobieństwa przeżycia 110 lat a więc 5(100/u<) > S(U0/af). Ale okazuje się, że ryzyko śmierci (a więc umieralność opi-sywana funkcją hazardu) dla stulatków i studziesięciolatków jest podobne, a więc MlOOlat.) « /t(llOfid).

Model hazardu Coxa ma następującą postać:

h(t.) = ho(t)exp(X(3),

gdzie h.(t) to funkcja hazardu, ho(t) to zerowa linia hazardu, X to wektor zmiennych potencjalnie mających wpływ na funkcję hazardu a fi to wektor współczynników modelu opisujących w»pływ odpowiedniej zmiennej na funkcję hazardu. Jeżeli przyjmiemy, że elementy wektora fi nie zależą od czasu, to mamy do czynienia z modelem proporcjonalnych hazardów Coxa. Dla tego modelu (podobnie jak dla innych modeli regresyjnych) interesować nas będą oceny parametrów /? oraz procedury testowania weryfikujące hipotezę zerową, że dany współczynnik jest istotnie różny od 0.

Oczywiście hazard nie musi dotyczyć ryzyka śmierci, może to być ryzyko uszkodzenia.

ponownego zachorowania itp.