skan0005

20.y = 22.2/ =

26.2/

2 _

-1

13. y² ■ ®⁹ + b + O IB. y² = ln|C®^a|

17. y = -2xe~^x - 2e~^x + C

1 + e*

21.j, = ln|CxV|

23. In | siny\ = xsin x -f cosx + C 25. y = Cx{ 1 + y²)

27. y/l+y² = y/l + x² + C 14. '|/ ~ m | Mu |fii +|l+0 16. — -|» y -I" ln\v - 1| ■ - - -l- C 18. ye^v - e^v -I- e™ -I- -e""³® = C 1 — i³

2Ce^x

1 - Ce*^a 24. y² =2- Ce*

Ci² 1 + X⁵

28. Ce^x"» = ( §£§1

Vw + 3/

29. ln|» + l| +

\^{1 + x}<

y + l 2    11 — x

.3

+ C

30.    Y+22/ + ln|2/| = y ^lnx-^+C

31.    y = Ce“*

33. \fy² +1 = ln |x| + C

35. 3z⁴+4(2/ + l)³ = C

32.2/² = arctgi + C

34. e^v + (y + l)e“^v = 2 cos a: 4- C

36. j,⁴ = Ą x — 4

37. x² + »² + 2(x - ») + 21n |(x -1)(₉ §1)| = C

39. y² =

3cos3x 41, 5 = Ce*^r 43, w² +1² - 2t = C

45. e"‘ = 1 + Ce*

47.j, = i(e^2x + l)

49, |/ = 2(1 -x²)³

51. y = 2 sin a;

+ C

40. tgxtg2/ = C

42. Q = Ce^fct+10

44. ln |x| = (t - l)e*⁺² - t + C

46. p = -^Cet

1 + Ce*

48.2/ = 2x +1 8

50. y

(2-i?

52. y * v!

hIii ul

53. u •'I ulu x • 1	54. y = 2 — 3 cos o;
55. y b tgrc	1 i N i II Sb CD łO
57. y m ln |xc -1- 2|	58. y = -- 1 + x
50. ln^a y = 2tgx	60. y[\n \x^2 - 1| + 1] = 1
01. y = e®	62. y = —2 cos a;
03. y = x	64. y = —e^_1“* X
05. y = Sx^3e~^x	66. y^3 = 4(1 4- X^3)
07. y — arcsin x	68. y = —x
MM X^Ł	70. y^2 + sin y = x + ln(l + e^x) — ln 2

2.2. Równanie różniczkowe jednorodne

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

%/(!) (2.2.1)

o funkcji niewiadomej y nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Szukana funkcja y jest funkcją zmiennej x. Funkcja f jest funkcją określoną i ciągłą w pewnym przedziale. Równanie (2.2.1) sprowadzimy do równania o zmiennych rozdzielonych, stosując podstawienie

x

Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego:

/' , y    y\    y

1. (a; sin--y cos — ) ax+x cos ?my = 0

V x    xJ    x

Rozwiązanie

1. Dzieląc nasze równanie przez xdx, otrzymamy

. V    V    V    i V

sin — — — cos — + y cos — ■.-== 0. x    x    x    x

Podstawmy,

V

wtedy y ■* ux_} y¹

u^fx + u.