skan0010

40

77. y = ^a-^lnX ^ ^{+ 21}    78. y = 2e~^s{nx + 2smx - 2

x +1

79. (a)a; = 2y²~y\ (b)x = 2y²+3y    80. y =

&    v 1 +

81. y = x⁴ + x² ln |a;| + 3x²    82. y = -—^——

x²

2.4. Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

y' + f(x)dx = g(x)y^s, «^0i s^l    (2.4.1

nazywamy równaniem Bernoulliego. Dane funkcje f i g są, ciągłe w pewnym przej dziale. Stosując podstawienie

^z — y^l~⁸i

równanie (2.4.1) sprowadzamy do równania liniowego.

Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego:

1. Zxy' —y = 3xy⁴ ln x

Rozwiązanie

Równanie z zadania 1 jest równaniem Bernoulliego. Zauważmy, że jedną z całell tego równania jest funkcja y{x) = 0. Aby wyznaczyć inne całki, pomnóżmy obie strony równania przez y~⁴, zakładając, że y ^ 0, a więc mamy

Źxy~⁴y' - y~³ = 3x\nx.    (2.4.2)

Wprowadźmy nową zmienną z = z(x), podstawiając

z(x) = y~³.

Ponieważ

-3y“V,

więc równanie (2.4.2) ma teraz postać

czyli jest to równanie liniowe. Wyznaczmy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

xz' + z = 0.

Rozdzielając zmienne

l><) scałkowaniu mamy a stąd

dz _ dx

W$M X 1

ln \z\ =filn |®| -I- ln |:(7|,

Zq{x)~ —. X

'/godnie z metodą uzmiennienia stałej, całki ogólnej szukamy w postaci

Z(x) =

mim

Oczywiście

xL'{x) — L(x)

'Wstawiając Z i Z' do równania (2.4.3), po uporządkowaniu mamy L'(®) = -3®ln®, więc L(J-3 Jx\nxdx. Całkę tę obliczymy przez części.

f	u = ln® v' = x '		'®^2 -si f
I x ln xdx = <		11	§|rln® — - / xdx 1.2 2 J ]

'"*-2

3®² ' 2

+ Ci,

wlec

ln® •

(lalka ogólna równania (2.4.3) ma postać

ln x — I ■ 2

z(x) = zo(x) + Z(x) =■ £    |®

a ul i|«I szukano rozwiązanie jest dane wzorem:

-₃ o    :

V ■ — - xx ln® - j x 2