skan0019

l.y>. y" =* u¹. Jeżeli u =s u(x\Ci) jest całki), okóIiii), równania (2.0.3)> to całki I ogólną równania (2.6.2) wyznaczymy całkując wyraźnie y' ia u.

(li) Jeżeli funkcja F w równaniu (2.6.1) nie zależy od zmiennej x, to równanie (2.6.1) ma postać

• F(y,y',y"}^0.    (2.6^1

W tym przypadku stosujemy podstawienie y' = u(y), a stąd y" m    i wówczB I

równanie (2.6.4) przyjmie postać

F(y,u₎u^^L) = 0.

dy

Wyznaczyć rozwiązania równań różniczkowych:

ffl y"-;^y' = 4z⁴    2. 2y" = e^y, 12/(0) = 0, H H

Rozwiązania

1. W tym równaniu nie występuje y. Stosując podstawienie y' = u, mamy y" u^fm a więc równanie przyjmie postać

/ u ₄ U — -r == 4X.

X

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym ze względu na zmienną u, łatwa zauważyć, że

u = C\x + x^s

jest jego całką ogólną. Ponieważ

y' = u, więc y’ = C\X + a;⁵, i stąd szukane rozwiązanie ogólne jest dane wzorem:

y -    a:² + C₂.

Zauważmy, że wprowadzając nową stałą C = otrzymamy postać rozwiązar nia:

y = -x⁶ + Cx² + C₂. o

2.    Podstawiając y‘ = u, y" = mamy

iJsi i

dy

•IhnIi lit) równaniu o zmiennych rozdzielonych; u więc

2udu as a^vdy, po Bcałkowanlu mamy u — e^v -I- C\.

Korzystając z warunku początkowego

u(0) sb yy^/(0) = 1, mamy 1 = 1 + Ci, więc CiPIjlO,

równania ma więc postać:

w² = e^v, stąd u =    , czyli e~*dy = dx.

Ostatnie równianie jest również o zmiennych rozdzielonych, po scałkowaniu mamy

—2e”^ = x + ć?2*

Z warunku początkowego y(0) = 0 wynika, że Cź = —2, a to oznacza, że szukanym rozwiązaniem jest funkcja:

^y=2ln źh-

lllttczyć całki ogólne następujących równań różniczkowych:

'¹ (6.} y” - ^2x + y' = 2x‘

(8yy^/, + 2y{y')³ = 0 ’10) (y')² + yy" - 2y¹

W" -v' = o

X    X

01/ -y ssx°

V + (v')² + 1 = 0

v^Jv" = v'

\J2.y" + y‘tgx = 0 4.3/^;/a; ln a; = y'

miaczyć całki szczególne następujących zagadnień początkowych: , ay' + [(y')^s - 6x]y" = 0, jł(2) = 0, i/'(2) = 2

(I + * V + 2®!/'

2 ........ IH

i(l I- *⁹)y" + 2®j/' - 2®-³, 1/(1) = -1, l/'(-l) = -l uW-Sy*, y(-2)» l, y'(-2)--l