wzory na sciage

Dodawanie wektorów

a

Odejmowanie wektorów

a

Długość wektora

Cl — ^Cl_xyQ_yyCt_z J

H=)/(^aJ²⁺(^aj)²+(^aJ²

Mnożenie skalarne wektorów (liczba)

a=\a_x,a_y,aj\b=\b_x,b_y,b₁~\

a b = [a,,a_y,a_: ] \b_x,b_y, &₂ ] = aj>_z + a_yb_y + a.b.

Mnożenie wektorowe wektorów (wektor)

a=\_a_x,a_y,a_x\b=\b_x,b_y,b_x'\ axb = \a_x,a_yya,~\x\b_x,b_y,b_x~\ =

a=[a_x,a_y,a₂\b = \b_xĄ.,b_s~\

a+b=[a_x,a_y,aJ\+\b_xĄ,b₁~\=[a_x+b_x,a_s+b_y,a₂+b_t~]

a=\a_x,a_y,a_x\b=\b_x,b_y,b₁~\

a-b=[a_x,a_y,_ai]-\b_xĄ,b₂~\ = \a_x-b_x,a_y -b_y,a, -&,]

Kołinearność (równoległość) wektorów Wektory a =    = [b_xĄA~]

są kolinearne (równoległe), gdy: ^x_ _ ^y_ _

K by b_;

Kąt pomiędzy wektorami

aob

cos

Ua,b)=± ^v ’ \a

Pole równoległoboku i trójkąta Objętość równoległościanu i czworościanu

(ostrosłupa)

P =

a

axb

^P=2

axb

a

tLf=\ao(bxc) Vx = —\ao(bxc) Wektory prostopadłe    '    A 61

Wektory (i ib są prostopadłe, gdy a °b = 0

Komplanarność wektorów (leżą na jednej płaszczyźnie)

Wektory a ,b iCsą komplaname (leżą na jednej płaszczyźnie) wtedy i tylko

wtedy, gdy    = 0

Płaszczyzna

ń = [AJi,C]

Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebne są:    Ą ^    _z<) j

1)    Wektor do niej prostopadły

2)    Punkt na niej leżący

Iloczyn mieszany wektorów (liczba)

i	J	k
^ax	^ay	a.
bx	^b>	^b:

ciy a_z ^by b_s

^QX ^a2 ^bX ^b-

a_x ct_y

b, b_y

Ax + By + Cz + D — 0

Odległość punktu P(x₀,jp₀,z₀)od płaszczyzny n '■ Ax + Bv + Cz + D = 0

I Ax_q + By₀ + Cz₀ + D\ Równanie odcinkowe płaszczyzny d(P,7T) =^J-. '    =—¹

^v '    Ja²+b²+c²

x    y    z

—+— + - = 1

a    b    c

CI ₉b₉C —współrzędne przecięcia z osiami

a_xya_y,a_s\b=\b_xĄ_yb_z\

^c= ,^ci’^cy’^c:] a_x a_y a. d'>(bxc} = b_x b_y b.

c_x c_y c_z

a =

Równanie kanoniczne prostej:

x-x^ _y-y₀ _z-z₀

^vx    Vy    V₂

Wzajemne położenie prostych

Sprawdzamy:

1)    Czy proste maj ą punkty’ wspólne

2)    Kat pomiędzy prostymi (równoległość, prostopadłość...)

.*-*0 V-Vq ---o

Równanie parametryczne prostej:    Odległość punktu A(x_o,y_o,Z_Q) od prostej

Prosta

lub równanie kierunkowe prostej

X = v_xt + X_Q

y = v_yt+y₀

v.

z — v.t + Zq teR

^(xo,Ą

V = £V_A, V_y., V, | Równanie krawędziowe prostej:

B(x_a,y₀,z₀)    ___„—.——d(AJ)-

^v=[w^v«]

Odległość pomiędzy prostymi równoległymi

Liczymy wzorem na odległość punktu od prostej.

vxAB

j A^x + Byy + C^z + Dj = 0 + B^y + C₂z + Z), = 0

Odległość pomiędzy płaszczyznami równoległymi:    Równanie TC przeck. przez 3 punkty:

te-4

<11 f, -T l =-j—----

^d ^    Ja²+b²+c²

n\

y z i

xl yl zl 1

x2 y2 z2 1

x3 y3 z3 1

=0

Odległość pomiędzy prostymi skośnymi

(v, x v₂ J o AB

d(lM = -    '

^V1^XV2