zadania 2

Pokazać, żc funkcja f(z) = \z\². z £ C, ma pochodną zespoloną tylko w z = 0.

Pokazać, żc iloraz różnicowy    fiuikcji f(x 4- iy) =    2 =

x 4- śy € C \ {0}, /(O) = 0, dąży do określonej granicy, gdy 2 — 0 po dowolnej prostej. Pokazać, żc funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0.

Sprawdzić, czy funkcja / : C —- C jest holomorficzna:

a)    f(x 4- iy) = {x² - y²) 4- 2ixy

b)    f(x 4- iy) = pjfp- - x 4- 21/ ^ 0

c)    /W = 5

d)    f(z) = Re z

o) f(z) = ^ dla z^O, /(O) = 0

Czy gałąź logarytmu dla arg(^)€ (—tt; tt) jest fimkcją holomorficzną?

Sprawdzić, czy funkcja f(x 4- iy) = \/l^x2/| spełnia w punkcie 0 równania Cauchy’ego - Riemanna. Czy f posiada pochodną w punkcie 0? Czy jest funkcją holomorficzną?

Wykazać, żc jeśli w punkcie zę, = xo 4- iyo istnieje skończona granica a) linu_,₀Re ^    ^), b) lim,_,₀ Im ^^, to w punkcie tym

istnieją pochodne cząstkowe a) gj, g oraz §| = fj, b) ^ oraz

chi _ _’dv_

dy    dx‘

Wykazać, że funkcja holomorficzna / : D —- R (o wartościach rzeczywistych), gdzie D C C jest spójny, jest. funkcją stałą.

Pokazać, że jeżeli f(x 4- iy) = (ax 4- by) 4- i(cx -|- dy), a, 6,c, d £ R, jest fimkcją holomorficzną, to istnieje .4 £ C takie, żc f(z) = Az.

Pokazać, żc jeżeli f = u 4- iv jest funkcją holomorficzną oraz f(z₀) ^ 0, z₀ = x₀ 4- iyo, to    yo) > 0.

Pokazać, że jeżeli f = u 4- iv ma w punkcie z₀ pochodną, to funkcja g — u — iv ma pochodną g'(zo) wtedy i tylko wtedy, gdy f'(zo) = 0.

Pokazać, że jeżeli / = u 4- iv jest funkcją holomorficzną oraz u. v są klasy C², to u, v są funkcjami harmonicznymi (tzn. Au =    4-    = 0

i At-= 0 + 0 = 0).

Pokazać, żc jeżeli funkcja u klasy C² w obszarze jednospójnym jest funk-cją harmoniczną, to istnieje funkcja v taka, żc / = u + iv jest holomorficzna.