ćw 2 cz2

wynikowi gry odpowiada zestaw wypłat dla poszczególnych graczy. Tabelę zawierającą możliwe wypłaty dla poszczególnych kombinacji strategii nazywamy macierzą wypłat. W aplikacjach teorii gier do rozwiązywania problemów zarządzania macierze wypłat stosuje się na ogół w sytuacji tzw. gier przeciwko Naturze. Gra przeciwko Naturze to gra dwuosobowa, w której drugi uczestnik to Natura - nieracjonalny gracz, który przez „wybór strategii” ma wpływ na nasze wypłaty, choć sam nie jest zainteresowany wynikiem gry. Określenie „strategia” czy „decyzja Natury” z reguły zastępuje się określeniem stan Natuty lub stan otoczenia (zbiór czynników znajdujących się poza kontrolą gracza/decydcnta, ale wpływających na wynik gry). Gra przeciwko Naturze to nic innego jak podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (gdy znamy rozkład prawdopodobieństwa stanów Natury) lub w warunkach niepewności (gdy nieznany jest rozkład prawdopodobieństwa stanów Natury). Macierz wypłat w grze przeciwko Naturze to tabela zawierająca wypłaty dla zbioru decyzji dopuszczalnych i zbioru stanów Natury.

Rozważmy następujący przykład. Zastanawiamy się, gdzie ulokować 100 tys. zł otrzymane niespodziewanie w spadku. Przyjmijmy, że zbiór decyzji dopuszczalnych obejmuje: skarbonkę, bank, akcje spółek giełdowych. To, która z decyzji okaże się korzystna, zależy nie tylko od naszego wyboru, ale i od zewnętrznych okoliczności (stanów Natury). Przyjmijmy trzy możliwe stany Natuiy (stany otoczenia) mające wpływ na wynik naszej gry z Naturą: wzrost gospodarczy, przejściowy kryzys gospodarczy, totalny krach gospodarczy. Przyjmijmy, że macierz wypłat (wypłata jest tu rozumiana jako zysk z „lokaty” w perspektywie 5 lat) dla opisanego problemu decyzyjnego (gry) wygląda jak w tabeli l.

Tabela 1. Macierz wypłat dla przykładu - Gdzie ulokować 100 tys. zł?

Zbiór decyzji dopusz-czalnych	Stany Natury
	wzrost gospodarczy	przejściowy kryzys	totalny krach gospodarczy
W skarbonce	0	0	0
W banku	60	50	-80
Na giełdzie	150	-60	-100

Gdzie ulokować pieniądze? Jeśli znamy rozkład prawdopodobieństwa stanów Natury (np. wzrost nastąpi z prawdopodobieństwem 0,80, przejściowy kryzys -0,15, totalny krach - 0,05), powinniśmy obliczyć wartość oczekiwaną dla każdego wariantu decyzyjnego i wybrać ten o największej wartości (zainwestować w akcje - dla przykładowych danych ten wariant ma wartość oczekiwaną 106 tys. zł, podczas gdy bank - 51,5 tys. zł, a skarbonka - 0 zł). Jaką decyzję podjąć, gdy nie znamy rozkładu prawdopodobieństwa stanów Natury (decyzja w warunkach niepewności)? Nie ma jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie. W teorii wypracowano cztery podejścia, czyli reguły postępowania w grach przeciwko Naturze, gdy nie znamy rozkładu prawdopodobieństwa jej stanów. Innymi słowy, są to kryteria podejmowania decyzji w warunkach niepewności.

1.    Kryterium Laplace’a

Według Laplace’a, jeśli nie mamy konkretnych powodów, aby przyjąć, że jakiś stan Natury jest bardziej prawdopodobny od innych, to możemy przyjąć, że wszystkie stany są jednakowo prawdopodobne. Według tego kryterium, należy zatem wybrać decyzję o najkorzystniejszej średniej z wypłat (upraszczając -o największej sumie wypłat). Kierując się tym kryterium powinniśmy ulokować pieniądze w banku - średnia wypłata 10 tys. zł (suma wypłat - 30 tys. zł).

2.    Kryterium Walda (rnaksimin)

Według tego kryterium należy ustalić najgorszą możliwą wypłatę dla każdej decyzji. Należy wybrać decyzję o najlepszej spośród tych najgorszych wypłat. Innymi słowy, jest to kryterium dla ostrożnych (pesymistów'). Podejmujemy decyzję w ten sposób, aby najgorsze, co nas może spotkać, było jak najlepsze. Kierując się tym kryterium, powinniśmy trzymać pieniądze w skarbonce - najgorsza wypłata to 0 zł.

3.    Kryterium Hurwicza (maksimaks)

Jest to kryterium dla optymistów - zakładamy najkorzystniejszy obrót spraw. Według tego kryterium należy wybrać tę decyzję, której odpowiada najkorzystniejsza wypłata. Kierując się tym kryterium, powinniśmy zainwestować w akcje --najwyższa wypłata to 150 tys. zł.

4.    Kryterium Savage’a (minimaks)

Jest to kryterium dla osób, które chcą uniknąć poczucia straty. Chodzi o to, aby zminimalizować maksymalną stratę, jaką możemy odczuć, kiedy poznamy „wybór” Natury (taki, a nie inny stan otoczenia stanie się faktem). Aby zastosować kryterium Savage’a, potrzebna jest macierz strat możliwości. Należy ustalić maksymalną stratę możliwości związaną z daną decyzją i wybrać decyzję o minimalnej, spośród tych maksymalnych, stracie możliwości.

Strata możliwości to różnica między maksymalną możliwą wypłatą dla danego stanu Natury a wypłatą odpowiadającą temu stanowd i określonej decyzji. Macierz strat możliwości to tabela zawierająca straty możliwości dla zbioru decyzji dopuszczalnych i zbioru stanów Natuty. Dla analizowanego przykładu otrzymamy macierz strat możliwości jak w tabeli 2.

15