00098485

I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Łatwo sprawdzić, że nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełnia warunków J Cauchy'ego-Rirmamut Część rzeczywista E. i część urojona F., tej funkcji są natomiast klasy C* i spełniaj* warunki

£« — — Ej oraz -4- (— £,) =    £«

dy dx ’    dy ’ dx

w każdym punkcie, z wyjątkiem początku układu Pierwszy z tych warunków ozr że pole (111.53) jest ber wirowe, natomiast drugi, że pole lo jest betiróJlow*. Wynik* stąd, te w każdym prostokącie (a nawet — jak można wykazać — w każdym o biza- j rze jednospójnym) nie zawierającym punktu 0 istnieje taka funkcja V(x, y) nazywaną: J“ potencjałem elektrostatycznym pola E, te

E.--K    i    _£„_"1    WL»;1

dx    ’ dy

oraz istnieje taka funkcja U(x,y), nazywa na funkcją sil pola E, żc

E.— "L 1    E,-«L

ox    dy

Potencjał V(x,y) i funkcja sił lĄx,y) są to funkcje ha moniczne, sprzężone ze sobą za pomocą równań

ÓV

d U

____ W_ d£

dx dy    dy * dx

które są bezpośrednią konsekwencją warunków (111.54) i (111.55). Wynika stąd, jj że funkcja zmiennej zespolonej

Fb)-V(x,y)+jV(x,y)    <DU«|

jest holomorficzna w rozważanym obszarze jednospójnym. Nosi ona nazwę potencja lu zespolonego. Linie rodziny

V(x, y) = const

są to linie stałego potencjału, natomiast Unie rodziny U(x, y) - copst

są to linie sil. Każda linia jednej z tych rodzin jest ortogonalna do każdej linii drugiej ; rodziny.

Łatwo sprawdzić, że dla pola określonego wzorem (III.53} mamy

K(x,y)- -pln^+mc,

U(x,y) = 2c arctg —-+C, przy czym dla prostoty ograniczyliśmy się do półpkszczyzny Rez > 0, co zapewnia

ciągłość funkcji arctg—. Potencjał zespolony pola (111.53) jest więc określony w pót-plaszczyinie Re? > 0 następującym wzorem

F(z) = 2g (arc tg — -j ln /łHpj + C

czyli

F(z) = 2g(argz-y ln |z|)+C    (JILS7)

gdzie C oznacza dowolną liczbę zespoloną. Liniami stałego potencjału są tu okręgi ]z| = const, natomiast liniami sił—póiproste argz *= const.

Powróćmy do wzoru (111.56). Ponieważ

F'« -17+^4/" -*-#• - -W.-«

więc

E= -J-r(z)    (III.58)

Wzór ten wyraża zależność wektora E pola płaskiego od potencjału zespolonego F(z); kreska oznacza wartość sprzężoną.

Należy zaznaczyć, że potencjały zespolone wprowadza się nie tylko w elektro-s ta tyce, lecz także w innych działach fizyki teoretycznej tam, gdzie mamy do czynienia z polami płasko-równoległymi. Oprócz elektrostatyki do działów takich należą w pierwszym rzędzie hydromechanika i aeromechanika.

ĆWICZENIA

I. Podać definicję funkcji holomorficznej w punkcie. Porównać holomorficzność funkcji w punkcie z istnieniem pochodnej/"(*>) • Co to znaczy, łe funkcja jest holomorficzna w obszarze! Porównać holomorficzność funkcji w obszarze z istnieniem pochodnej funkcji w tym obszarze.

Ł Wykazać, łe część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej w pewnym obszarze są to funkcje harmoniczne w tym obszarze. Sprawdzić to bezpośrednio dla funkcji:

a) /(zł-rf+z. b) /(r)-e>, _c)/fc) = A_t d) /<*)__2e-«.

3.    Podać definicję funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą. Podać przykłady takich funkcji

4.    Omówić znajdowanie funkcji holomorficznej, gdy dana jest jej część rzeczywista albo urojona. Znaleźć funkcję /(z) = u+Jv, jeżeli: a) u = x’-3xy‘. b) o=6i^Jy-V.

c) a “ e* (icosy-ysiny). Otrzymany wynik sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

3. Wyjaśnić interpretację geometryczną par funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą.

6.    Omówić interpneiację fizyczną runkcji holomorficznej, nawiązując do analizy pola płasko-równoległego. Co to jest potencjał zespolony?

7.    Wykazać, że między wektorem E pola (1(1.33) oraz funkcją sil U tego pola, zachodzi następujący związek E ■= -/grad U.