0022

23

§ 3. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych

Ponadto, aby określić iloczyn dowolnej pary liczb rzeczywistych (niekoniecznie dodatnich), uczyńmy następujące uwagi.

Przede wszystkim umówmy się, że

a-0=0-oc = 0,

dla dowolnego a.

Jeżeli obydwa czynniki są różne od zera, to przyjmujemy za punkt wyjścia zwykłą „regułę znaków”:

a-fi= |a[ • \fi\, jeżeli a i fi mają ten sam znak,

cc fi= — (|a| • \fi\), jeżeli a i fi mają różne znaki, (wiedząc już, co oznacza.iloczyn dodatnich liczb |a| i \fi\).

Umowy te, jak widzieliśmy w ustępie 4, są w pewnym sensie konieczne, jeżeli chcemy, żeby działania na liczbach rzeczywistych posiadały wszystkie podstawowe własności działań na liczbach wymiernych.

15. Własności mnożenia. Podobnie, jak w przypadku liczb wymiernych, dla dowolnych liczb rzeczywistych zachowują się własności:

Ul. 1° a.-fi=fi-a.,

III. 2° (,x-fi)-y = oc(fi-y), ni. 3° a -1 = a.

Dla przykładu udowodnimy drugą z tych własności, rozpoczynając od przypadku, gdy wszystkie trzy liczby a, fi, y są dodatnie. Niech a, a.', b, b', c, c‘ będą dowolnymi liczbami wymiernymi, spełniającymi nierówności

0<a <a<a',    0 <b<fi<b',    0 <c<y<c'.

Wówczas na podstawie samej definicji iloczynu dwóch liczb rzeczywistych mamy

ab<a.fi<a'b' oraz bc<fiy<b'c'.

Korzystając raz jeszcze z tej definicji otrzymujemy

(ab)c<(afi)y<(a'bj c'

oraz

a(bc)< a (fiy) < a'(b’c').

Ponieważ dla liczb wymiernych dowodzona własność jest już znana, to okazuje się, że liczby rzeczywiste (afi)y i a (fiy) są zawarte pomiędzy tymi samymi krańcami

(ab)c = a(bc) i (abjc =a'(b'cj.

Łatwo jednakże pokazać, że przy dostatecznym zbliżeniu do siebie czynników a i a', b i b', c i c' także różnica iloczynów a'b'c'—abc może być uczyniona dowolnie mała (można przy tym skorzystać z twierdzenia podobnego do twierdzenia z ustępu 14 dotyczącego iloczynu dwóch czynników). Wynika stąd, na podstawie lematu 2, wniosek o równości liczb (a fi)y i a (fiy).