0098

99

§ 2. Granica funkcji

powinien dążyć do A, co nie jest możliwe, bo dla wszystkich n=1,2,3,... mamy \f(x'_n) —A\^e. Otrzymana sprzeczność dowodzi słuszności tezy.

Tak więc w istocie otrzymaliśmy drugą definicję pojęcia granicy funkcji, które w ustępie 52 było sformułowane, że tak powiemy, w języku epsilonów i delt. Teraz możemy je sformułować w języku ciągów, pojmując równość (2) w tym sensie, że dla dowolnego ciągu (6) mającego granicę a, odpowiedni ciąg (7) ma granicę A.

Na zakończenie zauważmy, że wystarcza założyć tylko istnienie granicy dla każdego ciągu (7) odpowiadającego dowolnemu zbieżnemu do a ciągowi (6), żeby otrzymać stąd, że wszystkie te granice są jednakowe. Rzeczywiście, przypuśćmy, że dla dwóch ciągów

Xl > i    i ^1 j %2 > ••• > s

dążących do a byłoby

f(x'„)^A' oraz f(x'„')->A",

gdzie A'^A". Wówczas biorąc na przemian wyrazy obu ciągów tworzymy nowy ciąg

tut jt    t tt

J *^2 5    2 5 * * * 5 y X_n , , . . ,

który oczywiście dąży do a, ponieważ dla dostatecznie dużych n zarówno x'_n jak x'_n' różnią się od a dowolnie mało. Jednocześnie odpowiedni ciąg wartości funkcji:

/«),/(*!') J(x'₂) ,/(*z), - ,/CO ,/«)

wbrew założeniu nie ma granicy, bo podciągi częściowe jego wyrazów stojących na miejscach parzystych i na miejscach nieparzystych dążą do różnych granic [40]. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że ciągi postaci (7) istotnie dążą wszystkie do tej samej granicy.

54. Przykłady. 1) Udowodnimy, że

lim 4*=+ oo (przy a> 1).

X-* + 00

Dla dowolnego £>0 wystarcza obrać A = log„E, żeby x> A pociągało za sobą d^c>E, co już dowodzi naszego twierdzeniaf¹).

Podobnie pokazujemy, że

lim a*=0 (dla a>l).

X~+ — 00

1

A mianowicie dla dowolnego £>0 («<1), biorąc 4=log,—= — log,, e, mamy: x<—A pociąga za sobą a*<e.    ^f'

Jeżeli zaś 0<a<l, to za pomocą przekształcenia

łatwo ustalić rezultaty

lim a* = 0,    lim a*= + oo (dla 0<a<l).

lima"= + co (a>I)

(‘) Do wyniku częściowego doszliśmy już w ustępie 27.

7»