0118

119

§ 3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych

to, jak widzieliśmy [56, 4)]

lim

i-o x

czyli częścią główną y jest —(m— \)x²i2m². Stąd

ml-    1 m — 1    ,    ,

V¹ +*-l = -- X— —_T X +o(x ) .

m 2m

W szczególności

1 +* — 1 =i x — ix² + o(*²).

Ten proces kolejnego wydzielania z nieskończenie malej najprostszych nieskończenie małych coraz to wyższych rzędów można kontynuować.

W tym paragrafie ograniczymy się do ustalenia pojęć ogólnych, ilustrując je tylko kilkoma przykładami. W dalszym ciągu podamy schemat zarówno dla utworzenia części głównej danej wielkości nieskończenie małej, jak i dla dalszego wydzielania z niej najprostszych nieskończenie małych, o czym właśnie mówiliśmy [por. 104, 124].

Na zakończenie zatrzymajmy się jeszcze nad takim pytaniem: jeżeli dla dwóch nieskończenie małych znane są ich części główne ca^k i c'a^k, to co można powiedzieć o części głównej ich sumy /?+/?

Przy k±k' częścią główną sumy jest oczywiście ten z wyrazów ca^k i c’a^k, w którym wykładnik jest mniejszy. Niech teraz k = k'. Wówczas częścią główną dla (1+y jest suma (c+ć)oc^k — jednakże przy założeniu, że c + c'#0. W przypadku gdy c + c'=0, suma fi+y okazuje się nieskończenie małą wyższego rzędu, niż każda ze składowych.

Tak jest np. gdy x->0 dla nieskończenie małych

/j = 'Jl+x — l~łx    oraz    y = -y/l— x — 1--±x ,

Jeżeli wydzielić z nich jeszcze następujące części:

P=$x—ix²+o(x²) ,    y=— ix—ix²+o(x¹),

to widać, że

fi+y = \/l+x+y/l—x—2= —ix² +o(x²), czyli fi+y jest nieskończenie małą drugiego rzędu, a jej część główna wynosi — ±x².

64. Zadania. Dla ilustracji wyłożonych uwag przytoczymy kilka zadań, w których są one wykorzystane.

1) Niech odległość po linii prostej będzie mierzona za pomocą listewki o długości l m. Ponieważ w praktyce listewka jest przykładana niedokładnie wzdłuż mierzonej prostej, to wynik pomiaru jest

Rys. 25

nieco większy niż rzeczywista długość. Uczyńmy najbardziej niekorzystne założenie, że listewka przykładana jest zygzakiem tak, że jej końce odstają od prostej kolejno to w jedną stronę to w drugą o odległość X m (rys. 25). Należy oszacować błąd pomiaru.