0140

141

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

Ciąg (1 + 1/n)" przy «->oo lub wyrażenie ogólniejsze (1+a)¹'* przy a-»0, mające granicę e, są przykładami wyrażeń nieoznaczonych postaci 1⁰⁰. Powyżej, w ustępie 77, 4), rozważaliśmy ciąg

przedstawiający wyrażenie nieoznaczone 0°. Wreszcie wyrażenie \/n z ustępu 32, 10) jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci oo°.

Przytoczymy jeszcze kilka przykładów na obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych w podanej

postaci.

79. Przykłady.

1) Znaleźć lim (ln x)^1/x (oo°). Oznaczając dane wyrażenie przez y, mamy [por. 52, 2) i 5)1

ln(In*) ln(lnx) lnx    /oo\

lny=------->0    1 — 1,

x    inx x    \oo/

czyli y-»e° = 1.

(0°).

Tutaj [54, 7) i 5)):

2) Znaleźć lim x

x~0

smx

lny=sinx-lnx=--xlnx-*0,

x

czyli znowu y-»l.

3) Łatwo uogólnić teraz przykład 1) z ustępu 76: jeżeli x_n-*x (gdzie x jest liczbą skończoną), to

lim (h—=« »-. + a \ n ]

(1“).

Dla dowodu wystarcza przedstawić przytoczone wyrażenie w postaci

nlx_n"%x_n

[K)T

podstawa potęgi dąży tu do e, a wykładnik potęgi do x. 4) Do tej granicy można sprowadzić także przykład:

lim /cos —4*X sin —\    (l⁰⁰).

*-* + oo\ n    nj

Przyjmując, że wyrażenie w nawiasie jest równe 1 +*«/«, mamy

[x    x I    n

cos--1 -M sm — | ~Xx-

n    n J    x

x    x

sin —    1 —cos —

n

x-->Xx

x

n

itd.

5) Analogicznie badamy przykład

lim    j =yjab (l"),